Si bien estoy de acuerdo que @Austin Mohr 's respuesta es una buena imagen de $\omega_1$, es técnicamente problemático, ya que es circular. No se puede definir un incontable número ordinal en términos de multitud de unión ya que aún no han definido incontables o incontable de la unión. También, la notación puede dar la impresión de que generaría $\omega_1$, teniendo una contables de la unión.
El enfoque moderno como contestada por @Arno es correcta, pero no resalta lo que es especial acerca de $\omega_1$.
El problema con estos dos enfoques es que difuminan la distinción entre tomar el límite de una secuencia y tomar el supremum de un conjunto. Queriendo conseguir una "mejor idea" de lo $\omega_1$ podría ser, usted hará bien en considerar el Cantor del método para la generación de los números ordinales.
Cantor dijo tres principios para la generación de los números ordinales :
- 1er Principio - Dado un ordinal $\alpha$, no es menos ordinal mayor que $\alpha$ llama $\alpha + 1$.
El 1er principio es suficiente para generar lo que Cantor llama el primer número de la clase - es decir,$1, 2, 3, \dots$.
- 2do Principio - Dado cualquier aumento de la secuencia de $\alpha_n$ de los ordinales, hay menos ordinal mayor que todos los de la $\alpha_n$, llama _lim_$(\alpha_n)$.
El segundo principio que nos permite generar todos los contables (infinito) ordinales - lo que Cantor llama el segundo número de la clase :
$$ \omega, \omega+1, \dots, \omega+\omega, \dots \omega^2, \dots \omega^{\omega}, \dots, \omega^{\omega^{\omega}}, \dots, \epsilon_0, \dots,\epsilon_{\epsilon_0}, \dots, \alpha, \dots $$
El problema es que uno puede seguir así para siempre, sin la generación de un incontable número ordinal, y el Cantor sabía que existían innumerables conjuntos. Por lo tanto, algo totalmente nuevo que se necesitaba para llegar a $\omega_1$, y esto significaba una tercera (y última) principio de generación.
- 3er Principio De cada set $A$ de los ordinales, hay menos ordinal mayor que todos los miembros de $A$, llama _sup_$(A)$.
Este tercer principio nos permite generar $\omega_1$ como el supremum de todos contables de los números ordinales. (Tenga en cuenta que $\omega_1$ no puede ser generado usando el segundo principio, ya que hay una cantidad no numerable de contables de los números ordinales y por lo tanto no pueden ser dispuestos en una secuencia.)
Todos los ordinales pueden ser generados usando el Cantor de los tres principios. Es importante destacar que, el tercer principio produce natural saltos en la secuencia de los números transfinitos, dando lugar a innumerables cardinalidades.
De manera informal, vamos a considerar lo que se necesita para el conteo de$0$$\omega_1$. Metafóricamente, imaginemos que estamos subiendo a la montaña llamada $\omega_1$. Partimos de una $0$ y recuento $\omega$ ordinales para llegar a $\omega$. A contar de la próxima $\omega$ ordinales, nos llevará a $\omega + \omega$. Una vez que hemos hecho esto $\omega$ veces, llegaremos a $\omega^2$. Continuando de esta manera pasamos $\omega^3, \dots, \omega^n, \dots$, y finalmente llegan a $\omega^\omega$. Aquí es una representación pictórica de $\omega^{\omega}$.
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Eso es un montón de contar, pero todavía estamos en la pimply poco estribaciones del monte $\omega_1$ - para ser honesto, todavía estamos en el campamento base, poniendo en nuestras botas de escalada. Continuando llegamos a $\omega^{\omega^{\omega}}$, etc., y finalmente llegamos a los contables ordinal
$$\epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.}}}}} $$
un exponencial de la torre de $\omega$ copias de $\omega$.
Uno podría decir que ahora hemos dejado el piedemonte de la cordillera y llegó a la primera significativo de la cresta de la montaña, pero todavía no podemos ver la cima de la montaña. $\epsilon_0$ es importante porque es donde la representación de los números ordinales por Cantor de la Forma Normal extremos.
Continuando, contamos $\epsilon_0 + 1, \epsilon_0 + 2, \dots $ y pasamos a objetos como $\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_{\epsilon_0}, \dots$, pero todavía no podemos ver el pico del monte $\omega_1$. Creo que se puede ver a dónde va esto. El problema es que sólo podemos llevar a countably muchos pasos. Con el fin de llegar a $\omega_1$ necesitamos un totalmente nuevo principio, formalizada por Cantor del tercer principio de la generación de los números ordinales.
