Me pregunto si el tensor de tensiones de Maxwell, que se define como $$T_{ij} = \epsilon_0 (E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2) + \frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2) $$ es de coordenadas dependientes. Me imagino que funciona bien para las coordenadas Cartesianas $x,y,z$, pero no estoy tan seguro de que podía utilizar coordenadas esféricas $r,\theta,\phi$ sin tener que hacer algún tipo de transformación. Si uno no puede utilizar esta fórmula para coordenadas esféricas, ¿cómo se podría ir sobre la transformación de su forma esférica? Soy nueva en el campo de tensores, así que pido disculpas si la respuesta es obvia.
Respuestas
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El tensor de la misma es coordinar independiente, sin embargo sus componentes con respecto a la base en el producto tensor espacio son. Usted puede alternar entre el tensor de componentes del mismo tipo (como 2 veces covariante $T_{\mu\nu}$) mediante la transformación general de la ley para el tensor de componentes que se pueden encontrar en cualquier introductorio diff. la geometría o la teoría general de la relatividad de texto.
Richard Testani
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Este formulario también es correcto si se utilizan coordenadas esféricas. Si usted tiene un vector $\vec{x}\in K^3$ donde $K$ es un campo, puede direccion, coordenadas para hacerlo sólo después de la elección de una base. Este puede ser el típico $\vec{v}_1=\hat{e}_x,\vec{v}_2=\hat{e}_y,\vec{v}_3=\hat{e}_z$ pero puede ser también esférica coordenadas específicamente $$\vec{v}_1=\hat{e}_r=\sin{\theta}\cos{\phi}\hat{e}_x+\sin{\theta}\sin{\phi}\hat{e}_y+\cos{\theta}\hat{e}_z,\\ \vec{v}_2=\hat{e}_{\theta}=\cos{\theta}\cos{\phi}\hat{e}_x+\cos{\theta}\sin{\phi}\hat{e}_y-\sin{\theta}\hat{e}_z,\\ \vec{v}_3=\hat{e}_{\phi}=-\sin{\phi}\hat{e}_x+\cos{\phi}\hat{e}_y$$ Después de elegir una base $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$, entonces usted puede direccion, coordenadas $x_1,x_2,x_3$ y escribir $$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=x_1\cdot\vec{v}_1+x_2\cdot\vec{v}_2+x_3\cdot\vec{v}_3$$ Es extremadamente importante tener en cuenta que estas coordenadas no tiene que ser cartesiano.
Para algunas fórmulas es bueno ser bastante general. Esto es lo que podemos hacer, al derivar esta fórmula. Elegimos un "azar" $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$ y direccion, coordenadas, respectivamente, a estos vectores. Si ahora se desea calcular estos componentes a partir de un determinado campo electromagnético, usted tiene que asegurarse de no meterse con su base, no.e da $\vec{E}(\vec{x})$ en otra base de $\vec{B}(\vec{x})$ o $\vec{x}$ y el olvido, para transformar. Después de que conectarlo y ponerlo en una expresión tan fácil como sea posible.
Si eres un poco más interesado en este tensor recomendaría tomar una mirada en la electrodinámica relativista. Con la intensidad de campo electromagnético tensor (en Gauss unidades) $$F=\left(\begin{matrix} 0 & E^1 & E^2 & E^3 \\ -E^1 & 0 & -B^3 & B^2 \\ -E^2 & B^3 & 0 & -B^1 \\ -E^3 & -B^2 & B^1 & 0 \end{de la matriz}\right) $$ usted puede escribir $T_{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}(F_{\mu\lambda}F^{\lambda}_{\nu}+\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu})$ para la electromagnético parte de la energía-impulso del tensor, donde$\mu$$\nu$$0$$3$. Los componentes de $T_{ij}$ $i,j\in\{1,2,3\}$ entonces la expresión que escribió en su pregunta. Curiosamente, el contratante $T$ $(1,0)$- tensorfield $Y$ $Y_\nu=a_\nu+\omega_{\nu\kappa}x^\kappa$ $\omega_{\mu\nu}=-\omega_{\nu\mu}$ $T^{\mu\nu}Y_\nu$y la integración conduce a la conservación del momento angular $\vec{L}=\frac{1}{4\pi c}\int\mathrm{d^3x} [\vec{x}\times[\vec{E}(\vec{x},t)\times\vec{B}(\vec{x},t)]]$ del campo electromagnético (en el caso de que usted no tiene una masa en el sistema. Si usted tiene, es la suma del momento angular del campo electromagnético y la "normal" relativista momento angular de las masas.)
