Estoy teniendo problemas con el último paso de la prueba de la debilidad del principio del máximo para la ecuación del calor, como la que se encuentra en
La Salsa, Sandro, ecuaciones diferenciales Parciales en acción. A partir de la modelización de la teoría de la
th. 2.4 páginas 36-38.
Aquí es un boceto de la prueba.
Deje $w_t - D\Delta w = q \leq 0$ sobre el espacio-tiempo del cilindro $Q_T$ con parabólica límite de $\partial_p Q_T$ y deje $0 < \varepsilon < T$.
La definición de la función auxiliar $u = w - \varepsilon t \leq w$, tenemos $$u_t - D\Delta u = q-\varepsilon < 0$$ y hemos de probar que $$ \max_{\overline{Q}_{T-\varepsilon}} u = \max_{\partial_p Q_{T-\varepsilon}} u$$ por un cálculo argumento: el de Hesse es negativo semidefinite y el tiempo derivativo es no negativo en el máximo, que conduce a una contradicción.
Por otra parte hemos de probar que $$ \max_{\overline{Q}_{T-\varepsilon}} w \leq \max_{\partial_p Q_T} w +\varepsilon T $$ esencialmente por el subconjunto de las propiedades de w.r.t. maxima y la definición de $u$.
Tan lejos, tan bueno.
Aquí viene la parte difícil, al menos para mí. Va
Desde $w$ es continua en a $\overline{Q}_{T-\varepsilon}$ podemos deducir que $$ \max_{\overline{Q}_{T-\varepsilon}} w \to \max_{\overline{Q}_T} w \quad\text{as}\; \varepsilon\to 0 $$
por lo tanto, en el límite anterior obtenemos $$ \max_{\overline{Q}_T} w \leq \max_{\partial_p Q_T} w $$ lo que concluye la prueba desde el frente de la desigualdad es verdadera para subconjuntos.
Mis comentarios
- $w$ es no sólo continua, pero también de manera uniforme continua en el compacto $\overline{Q}_T$ y todos sus subconjuntos, por Heine-Cantor teorema, pero no puedo averiguar cómo utilizar esta propiedad con la maxima.
También he explorado la posibilidad de que ellos significaba 'uniformemente convergente' en lugar de 'continuo', pero al parecer sólo aplicable a otros a prueba de estrategias, en el que sólo $ \overline{Q}_T $ e no $ \overline{Q}_{T-\varepsilon} $ es utilizado, como por ejemplo en Evans (1998) ch. 7 th. 8. Para esa línea de razonamiento, estoy teniendo problemas al aplicar la desigualdad de triángulo para demostrar que $$ \max_{\overline{Q}_T} u \to \max_{\overline{Q}_T} w \quad\text{as}\; \varepsilon\to 0 $$ aunque esto es un poco off topic.
Para $\varepsilon\to 0$ los conjuntos de $\overline{Q}_{T-\varepsilon}$ están aumentando, por lo tanto, podemos construir una secuencia correspondiente de maxima que es creciente y por lo converge a su supremum $\varepsilon$, pero aquí de nuevo ¿cómo puedo demostrar que $$ \sup_{\varepsilon>0} \max_{\overline{Q}_{T-\varepsilon}} w = \max_{\overline{Q}_T} w$$
Cualquier ayuda será muy apreciada.
