$ \Bbb Q [ \sqrt{2} + \sqrt{3} ] = \Bbb Q [ \sqrt{2} , \sqrt{3} ] $

Question

Demostrar, que $ \Bbb Q [ \sqrt{2} + \sqrt{3} ] = \Bbb Q [ \sqrt{2} , \sqrt{3} ] $

No sé la definición de $\Bbb Q [ \sqrt{2} , \sqrt{3} ]$, alguien me puede ayudar con esto?

Answer 1

En primer lugar tenemos : $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)=\mathbb Q[\sqrt 2,\sqrt 3]$ porque $\sqrt 2,\sqrt 3$ son algebraicos sobre $\mathbb Q$

$\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)$ este es el más pequeño campo que contiene $\mathbb Q,$ $\sqrt 2$ y $\sqrt 3$

Desde $\sqrt 2+\sqrt 3\in \mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3) $ tenemos $\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)\subset\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)$, luego basta probar que $[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3):\mathbb Q],$ $[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q(\sqrt 2)][\mathbb Q(\sqrt 2):\mathbb Q]$ tenemos $[\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3):\mathbb Q]=4$ (debido a Irr($\sqrt 3$,$\mathbb Q(\sqrt 2))=X^2-3.$) usted puede comprobar fácilmente mediante el cálculo de que : deg(Tir($\sqrt 3+\sqrt 2$,$\mathbb Q)$=4

por lo $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3)=\mathbb Q(\sqrt 2+\sqrt 3)$