La prueba de $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x}$'s de la divergencia por absurdo?

Question

(Desde este sitio.)

El siguiente argumento pretende mostrar que la serie $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \dots = 0$. Comienza con la serie armónica.

$$ \begin{aligned} \sum \frac{1}{x} &= \sum \left( \frac{1}{2x - 1} + \frac{1}{2x} \right)\\ &= \sum \left( \frac{2(2x - 1)}{2x(2x - 1)} + \frac{1}{2x(2x - 1)} \right)\\ &= \sum \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x(2x - 1)}\right)\\ &= \sum \left(\frac{1}{x}\right) + \sum\left(\frac{1}{2x(2x - 1)}\right)\\ \end{aligned} $$

Por lo $\sum \frac{1}{x}$ es igual a sí mismo más que algo, lo que implica que el segundo de la serie es $0$. Por supuesto, este argumento es falso, porque la serie armónica diverge.

Mi pregunta: supongamos que no sabía que la serie armónica se separaron, pero nos hizo saber que $\sum\left(\frac{1}{2x(2x - 1)}\right)$ convergente a un valor distinto de cero, es en el hecho de $\ln{(2)}$.

Seríamos entonces ser capaz de concluir, desde el argumento anterior, que la serie armónica diverge? Es decir, si llegamos a $A = A + c$ donde $c$ es constante, podemos concluir que el $A$ es infinito?

Answer 1

Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenamiento converge en el mismo valor. Por lo tanto, suponiendo que $\sum \frac{1}{n}$ converge, hemos de convergencia absoluta (todos los términos son positivos).

Por lo tanto, todas las operaciones efectuadas en su razonamiento (agrupación de términos, y que se divide la serie en dos) son válidos. Ya que se puede escribir $\sum \frac{1}{n}$, además de algo positivo, se obtiene una contradicción.

Answer 2

$$A = A + c$$ so subtract A from both sides. $$c = 0$$ but $c$ is not $0$, it's $\ln 2$. Contradiction. $\por lo tanto$ la serie armónica diverge.

Answer 3

$$ A = a + c \\ 1 = 1 + c/A \\ 0 = c/\text{ sólo si a es infinito } $$