lim inf $|a_n|=0 \implies \sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ converge

Question

Deje $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser una secuencia tal que lim inf $|a_n|=0$. Probar que existe una larga $(a_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ tal que $\sum_{k=1}^\infty a_{n_k}$ converge.

Yo soy del pensamiento de mostrar que se puede hacer una larga que es más pequeño que el $1/n^2$. Es esta la estrategia de la derecha ? Cualquier sugerencias ? Se debe utilizar el criterio de Cauchy ?

Answer 1

Demostrar que para cada una de las $i\in N \exists n_i$ (de curso $n_i<n_{i+1}$)tal que $|a_{n_i}|<1/2^i$. O, incluso, $1/i^2$ va a trabajar. La existencia de una larga fácilmente de la siguiente manera a partir de la definición de lim inf.