doble check mis pasos para encontrar el inverso multiplicativo?

Question

supongamos que queremos hallar el inverso multiplicativo de a$117$$Z337$.

sé que para encontrar el inverso multiplicativo utilizamos Euclidiana y el algoritmo de Euclides Extendido.

Eculidian:

$337 = 2*117 + 103$

$117 = 1*103 + 14$

$103 = 7*14 + 5$

$14 = 2*5 + 4$

$5 = 1*4 + 1$

Euclides Extendido:

no voy a incluir la totalidad de la solución, porque estoy bastante seguro de ello, me sale:

$1=25*337-72*117$

Euclides extendido nos da que el inverso es $-72$. pero, ¿cómo es una calculadora dice que la inversa es$265$, por lo que hacer el maestro. necesito hacer algo más ? por lo general, sólo se necesita hacer Euclidiana y Extendido de Euclides para hallar la inversa.

Answer 1

Cualquiera de respuesta es correcta, ya que ambos son congruentes, es decir, $\,{\rm mod}\,\ 337\!:\ \color{#c00}{{-}72}\equiv 337-72\equiv 265.\ $ a Continuación es la completa cálculo fraccional formulario del Algoritmo de Euclides Extendido

${\rm mod}\ 337\!:\,\ \dfrac{0}{337} \overset{\large\frown}\equiv \dfrac{1}{117} \overset{\large\frown}\equiv \dfrac{-3}{\color{#0a0}{-14}} \overset{\large\frown}\equiv \dfrac{-23}5 \overset{\large\frown}\equiv\color{#c00}{\dfrac{72} {-1}}\overset{\large\frown}\equiv\dfrac{0}0$

Comentario $\ $ Permitiendo negatve restos (es decir, menos de magnitud) a menudo simplifica los cálculos, por ejemplo,$\,10^{n}\equiv (-1)^{n}\equiv \pm1\pmod{11}\ $ se utiliza para calcular los restos de mod $11$ como una alternancia de dígitos sumas (echar fuera onces). Así lo hice anteriormente en $\ \color{#0a0}{{-}14}\equiv 337\pmod{117}\,$ vs $\ 103 = (337\bmod 117)\,$ ya que en su cálculo. El uso de $-14\,$ vs $103$ simplifica los cálculos subsiguientes (se elimina un paso de sus cálculos, pero en general va a ahorrar muchos pasos más largos de los cálculos).