Resolver las ecuaciones $\|Av\|=1/\|A^{-1}w\|$, $\|w\|=1$

Question

Lo siento si mi pregunta es algo tonta, pero tengo un brainfreeze ahora.

Quiero demostrar que, para cada $A\in GL(2,\mathbb{R})$, y para cada $v\in \mathbb{R}^2$, $\|v\|=1$, me pueden encontrar $w\in \mathbb{R}^2$, $\|w\|=1$ tal que $\|Av\|=1/\|A^{-1}w\|$.

Escrito $v=(v_1,v_2)$ $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tengo que encontrar una solución a $(w_1,w_2)$ para la ecuación

$$(av_1+bv_2)^2+(cv_1+dv_2)^2=\frac{1}{\frac{1}{ad-bc}((dw_1-bw_2)^2+(-cw_1+aw_2)^2)}$$

tal que $w_1^2+w_2^2=1$.

¿Esta solución siempre existe?

Según mis cálculos esto es equivalente a preguntar si es cierto siempre

$(-2CD-E^2)^2-4C^2(D^2+E^2)\ge0$, con $D=b^2+a^2-d^2-c^2$, $E=-db-ac$, $C=\frac{(ad-bc)^2}{(av_1+bv_2)^2+(cv_1+dv_2)^2}-(d^2+c^2)$, pero no puedo ir más lejos en la prueba..

Answer 1

Deje $A = U \Sigma V^T$ ser la descomposición SVD de a $A$. Set$w = \frac{1}{\sigma_i}u_i (||\Sigma V^Tv||)^{-1}$, $u_i$ algunos columna de $U$, e $\sigma_i$ su correspondiente valor singular. En primer lugar, observe que

$$||Av|| = ||U \Sigma V^T v|| = ||\Sigma V^T v||$$

Y $$||A^{-1}w|| = ||\Sigma^{-1} U^T w|| = ||\Sigma^{-1} U^T \frac{1}{\sigma_i}u_i (||\Sigma V^Tv||)^{-1} || = || \frac{1}{\sigma_i}\Sigma^{-1} e_i (||\Sigma V^Tv||)^{-1} || = ||e_i (||\Sigma V^Tv||)^{-1}|| = |(||\Sigma V^Tv||)^{-1}| ||e_i|| = (||\Sigma V^Tv||)^{-1}$$

Por lo tanto, $$||A^{-1}w||^{-1} = ||\Sigma V^Tv|| = ||Av||$$

Answer 2

Sí, la respuesta es $w=\frac{Av}{\|Av\|}$