pregunta similar: http://mathoverflow.net/questions/9547/how-to-construct-matrices-with-periodicity
Definición: un (-1,0,1) de la matriz es una matriz con entradas -1, 0 o 1.
Estoy tratando de entender por qué (-1,0,1) (cuadrado) de matrices puede tener cualquier período, mientras que (-1,0,1) de las matrices que son una suma de un anti-simétrica y una matriz diagonal, si periódica, parecen tener períodos limitado a 3, 4, 6 o 12. También parece obedecer a la regla de que sus poderes son también (-1,0,1) de matrices.
La fuerza bruta contar dio OEIS A072148, A111749 y A111485, pero sigo sin entender la limitación en el período y el confinamiento a (-1,0,1) de la matriz de competencias.
El muestreo aleatorio de 7 por 7 matrices de no proporcionar un único contra-ejemplo.
Agradecería un enlace relevante (no muy alto nivel) de la literatura, o una buena sugerencia. Tal vez incluso un contra-ejemplo?
Respuesta
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Para el registro, y con disculpas por la auto-contestador:
el número de periódicos -1,0,1 de las matrices cuadradas que son una suma de un anti-simétrica y una matriz diagonal es muy limitado, si consideramos que
(1) las matrices que pueden ser obtenidos por una fila y una columna de permutación como equivalentes (es decir de la conmutación de la fila de u y v y la columna u y v) y
(2) las matrices que pueden ser reducidos a un bloque-diagonal de la forma por (1) como redundante (reducible).
Lo que queda son sólo 2 (trivial) 1x1-matrices (1 con periodo p=1, 1 con p=2), 3 2x2-matrices (2 con p=3, 1 con p=4), 5 3x3-matrices (p=4) y 2 4x4-matrices (p=4). Ninguno de los 5x5 o 6x6-matrices resultan ser irreductible, cfr (2). El muestreo de la 7x7-matrices de no proporcionar ninguna irreducibles. Si cualquier otro irreducibles existir, se debe tener n >= 7.
Sus periodos 1, 2, 3 o 4 evidentemente conduce a bloque-diagonal compuestos con períodos de ser el mcm de los conjuntos compuestos de [1,2,3,4] dando períodos 3,4,6,12 (aparte de la nxn matriz identidad y su negativa a tener p=1 o 2).
Codificado como inferior triangular nxn-matrices en forma concatenada con n(n+1)/2 entradas, tengo
n=1;p=1 : +
n=1, p=2 : -
n=2;p=3 : --0 ; -+0
n=2;p=4 : 0-0
n=3;p=4 : --+0-- ; --+0+- ; --++0+ ; -0-+++ ; -+++0+
n=4;p=4 : --+-0+0-+- ; --+0--+0++
donde la primera entrada en la penúltima línea representa la matriz de
-1,+1, 0
-1,+1,+1
0,-1,-1
PS : por la falta de alternativas, operación de (1) se ha implementado como una fuerza bruta de la generación de todos los n! permutaciones y clasificación de sus ternario representaciones de enteros. Operación (2) se hace de forma similar.
