Describir convexo cascos puramente en términos métricos

Question

Deje $X$ denotar un espacio Euclidiano; tome $X = \mathbb{R}^n$ para la concreción. Ahora considere el $x,y \in X$. A continuación, el segmento de la línea de unirse a $x$ $y,$ en lo sucesivo se denota $[x,y]$, que puede ser descrito en términos algebraicos como el conjunto de todas las posibles combinaciones convexas de $x$$y$. Es decir, $[x,y]$ es el casco convexo de $\{x,y\}$. Este segmento de línea también puede ser descrito en términos geométricos como el conjunto de todos los puntos que minimiza la suma de distancias a$x$$y$. Simbólicamente:

$$[x,y] = \mathop{\mathrm{arg}\,\mathrm{min}}_{p:X}\left( d(p,x)+d(p,y)\right)$$

Ahora supongamos que tenemos $3$, $x,y$$z$. Luego de su casco convexo es un (relleno) del triángulo. Me gustaría describir este triángulo como el conjunto de todos los puntos de la minimización de algo. La expresión

$$(*) \qquad \mathop{\mathrm{arg}\,\mathrm{min}}_{p:X}\left( d(p,x)+d(p,y)+d(p,z)\right)$$

no hace el truco, ya que esto es sólo el punto de Fermat del triángulo en cuestión. Suma de cuadrados no funciona, tampoco.

Pregunta. ¿Existe una función de $f : \mathbb{R}_{\geq 0}^3 \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que para todos los Euclidiana espacios $X$ y todos los $x,y,z \in X$, el casco convexo de $\{x,y,z\}$ es igual a la siguiente? $$\qquad \mathop{\mathrm{arg}\,\mathrm{min}}_{p:X}f(d(p,x),d(p,y),d(p,z))$$

Answer 1

Eso sería realmente genial. Pero no hay tal función, incluso para las tripletas de puntos en $\mathbb{R}^1$.

De hecho, tomar un triple $(a,b,c)$ de los números positivos. Vamos $x=-a$, $y=b$, $z=c$. El punto de $t=0$ es un punto interior de la convex hull, y ha distancias $a,b,c$ a los puntos de $x,y,z$. Considere la posibilidad de mover $t$, ligeramente a la izquierda o a la derecha de $0$: permanece dentro de la convex hull, por lo que la función de $f$ no cambia. Conclusión:

• $f$ es constante en las líneas con el vector de dirección $\langle 1,1,-1\rangle$, así como (por simetría) $\langle 1,-1,1\rangle$$\langle -1,1,1\rangle$.

Esto implica que $f$ es idéntica constante, porque uno puede ir de $(a,b,c)$ a cualquier otro punto de $(a',b',c')$ que se mueve a lo largo de las líneas. De hecho, la combinación $$ (a,b,c)+\epsilon(1,1,-1)+\epsilon(1,-1,1) = (a+2\epsilon,b,c) $$ permite moverse a lo largo del primer eje de coordenadas, y lo mismo para los demás.

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Si el colineales triples son excluidos, la situación no cambia. Un poco puede perturbar el triple $x=-a$, $y=b$, $z=c$ para que no colineales; moviendo $t$ a lo largo de una línea como antes, a la conclusión de que $f$ es constante en ciertos casi-lineal de las curvas. Armar las piezas cortas de tales curvas para moverse en el $3$-espacio.