La conjugación con las matrices de Pauli

Question

Deje $\{\sigma_j\}_{j=0}^3$ denotar la Pauli base de Hermitian matrices en $\mathbb C^2$$\sigma_0 := I$. Es cierto que $$\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 \sigma_j A \sigma_j = \frac{\text{tr}(A)}{2}I$$ for any positive definite $2x2$ matrix $$? Si es así, ¿cómo puedo mostrar esto? No he sido capaz de hacerlo con las propiedades conocidas de las matrices de Pauli.

Answer 1

Para probar la propuesta de la igualdad voy a estar usando el autovalor de la descomposición de las matrices de Pauli, que son

• $I=\sigma_0=|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|$
• $X=\sigma_1=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$
• $Y=\sigma_2=i(|1\rangle\langle0|-|0\rangle\langle1|)$
• $Z=\sigma_3=|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|$

donde$|0\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$$|1\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$. Ahora el desarrollo de la primera parte de la igualdad propuesta por el uso de las fórmulas anteriores:

\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\sigma_jA\sigma_j &=\frac{1}{4}(\sigma_0A\sigma_0+\sigma_1A\sigma_1+\sigma_2A\sigma_2+\sigma_3A\sigma_3) \\ & = \frac{1}{4}[(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)A|(0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)+(|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|)A(|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|)\\\ & +i^2(|1\rangle\langle0|-|0\rangle\langle1|)A(|1\rangle\langle0|-|0\rangle\langle1|)+(|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|)A(|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|)]\\ & =\frac{1}{4}[|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|+|0\rangle\langle0|A|1\rangle\langle1|+|1\rangle\langle1|A|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1| \\ & + |0\rangle\langle1|A|0\rangle\langle1|+|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|+|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|A|1\rangle\langle0| \\ & - (|1\rangle\langle0|A|1\rangle\langle0|+|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|+|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|+|0\rangle\langle1|A|0\rangle\langle1|) \\ & +|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|-|0\rangle\langle0|A|1\rangle\langle1|-|1\rangle\langle1|A|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1|] \\ & =\frac{1}{4}[2|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|+2|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1|+2|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|+2|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|] \\ & = \frac{1}{2}[|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1|+|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|+|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|] . \end{split} \end{equation}

En este punto, el efecto de la multiplicación de esas matrices matriz $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ tiene que ser analizado:

• $|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$.
• $|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1|=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix}$.
• $|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$.
• $|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}$.

Y, entonces, el uso de tales relaciones y el hecho de que $tr(A)=a+d$, le siguen la derivación iniciado por encima de la última etapa

\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\sigma_jA\sigma_j &=\frac{1}{2}[|0\rangle\langle0|A|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|A|1\rangle\langle1|+|0\rangle\langle1|A|1\rangle\langle0|+|1\rangle\langle0|A|0\rangle\langle1|] \\ & = \frac{1}{2}\left[\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}d & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix} \right]=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}a+d & 0 \\ 0 & a+d\end{pmatrix} \\ & = \frac{a+d}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\frac{tr(A)}{2}I. \end{split} \end{equation}

Tenga en cuenta que en la derivación de la igualdad, la restricción de que $A$ debe ser positiva definida no se ha utilizado, por lo que la igualdad tiene para todos los $2\times 2$ matrices.

Answer 2

Para mayor comodidad, vamos a $s_k=\sigma_{k+1}$$k=0,1,2$. Deje $P=\frac14\sum_{j=0}^3\sigma_jA\sigma_j$. También es sencillo comprobar que $\sigma_0 P=P\sigma_0$ y $$ s_kP = \frac{s_kA + As_k + es{k+2}As_{k+1} - es{k+1}As_{k+2}}4 = Ps_k $$ para $k=0,1,2$, donde los índices en $s_{k+1}$ $s_{k+2}$ se calculan en el modulo 3 de la aritmética. Por lo tanto $P$ viajes con una base de todo el complejo $2\times2$ matrices, y a su vez se conmuta con todas las complejas $2\times2$ matrices. Por lo tanto $P=cI$ para algunos escalares $c$. Ahora, por el tracial de la propiedad, $$ 2c=\operatorname{tr}(P)=\frac14\sum_{j=0}^3\operatorname{tr}(A\sigma_j^2)=\frac14\sum_{j=0}^3\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A). $$ Por lo tanto,$c=\frac{\operatorname{tr}(A)}2$$P=\frac{\operatorname{tr}(A)}2I$.