Cómo integrar la $\int_{}^{}{\frac{\sin ^{3}\theta }{\cos ^{6}\theta }d\theta }$?

Question

Cómo integrar la $\int_{}^{}{\frac{\sin ^{3}\theta }{\cos ^{6}\theta }d\theta }$? Este es el tipo de tareas,y no tengo idea de por donde empezar.

Answer 1

Usted puede volver a escribir como $$\int\tan^3\theta \sec^3\theta d\theta.$$ Tenga en cuenta que$d(\sec\theta)=\tan\theta\sec\theta d\theta$$\tan^2\theta=\sec^2\theta-1$, tenemos $$\int\bronceado^3\theta \s^3\theta d\theta=\int \tan^2\theta \s^2\theta d(\sec\theta) =\int (\s^2\theta-1) \s^2\theta d(\sec\theta).$$ Ahora, si nos vamos a $t=\sec\theta$, entonces....Os dejo el resto de las piezas.

Answer 2

O también podemos Calcular Usando Trigonometría. Sustitución

$\displaystyle \int\frac{\sin^3 \theta}{\cos^6 \theta}d\theta = \int\frac{1-\cos^2 \theta}{\cos^6 \theta} \times \sin \theta d\theta$

Deje $\cos \theta = t $ $\sin \theta d\theta = -dt$ Tan Integral es

$\displaystyle \int\frac{t^2-1}{t^6}dt = \int t^{-4}dt-\int t^{-6}dt$

$\displaystyle = -\frac{1}{3}t^{-3}+\frac{1}{5}t^{-5}+\mathbb{C}$

$\displaystyle = -\frac{1}{3}(\cos t )^{-3}+\frac{1}{5}(\cos t) ^{-5}+\mathbb{C}$

Answer 3

Es una manera de evitar engorrosos cálculos mediante el uso de s para el seno y c para el coseno. Dividir la s^3 en el numerador en s*s^2, el uso de s^2 = 1 - c^2 y poniendo todo en su lugar usted tiene

s*(1-c^2)/c^6. Desde la lonley s servirá como el diferencial negativo de c, el integrando reduce muy bien en (1-c^2)*(-dc)/c^6. Dividir c^6 en el numerador y tiene c^(-6)-c^(-4), que se integra muy bien con el uso de la primaria de energía de la regla, la primera integración de la regla que has aprendido! Por supuesto, no olvides de dar marcha atrás, en sustitución de la c con cos() y listo. No desordenado secantes y tangentes y ciertamente no hay sustituciones trigonométricas.