Pregunta sobre las funciones y derivados

Question

Me parece que no puede obtener este tema muy bien.

Deje $f(x)$ dos veces diferenciable en a $[0,1]$, y que hay una constante $A$, de modo que $|f''(x)|\le A$. Mostrar que si $f(0)=f(1)=0$, $|f'(x)|\le {A\over2}$ todos los $x\in[0,1]$.

Gracias de antemano por cualquier ayuda. Preferiría sugerencias por favor para mi aprendizaje.

Gracias!

Answer 1

He aquí una sugerencia hacia una prueba por contradicción. Supongamos que existe $w\in[0,1]$ tal que $f'(w) > A/2$. A continuación, la función de $f'(x)$ no puede tomar valores muy inferiores a las $A/2$ al $x$ es cerca de $w$ - debido a que la derivada de $f'$, es decir,$f''$, no puede ser demasiado grande. Se puede utilizar el Valor medio Teorema de obtener un límite inferior en $f'(x)$ que depende de la distancia $|x-w|$?

A continuación, observe que se supone que tenemos $0 = f(1)-f(0) = \int_0^1 f'(x) \, dx$. Una lo suficientemente grande como límite inferior para $f'(x)$ estaría en contradicción con esto....

Answer 2

para $x \in (0,1]$ : el uso de taylors thrm:

$$f(0) = f(x-x ) =f(x) -xf^\prime(x) + \frac{x^2}{2}f^{\prime\prime}(x - h_1x).....(1)$$

poner $x=1$ $(1) \implies |f^\prime (1)| \leq \frac{A}{2}$

para $x \in[0,1)$ uso taylors thrm.

$$f(1) =f(x+(1-x)) = f(x) + (1-x)f^\prime(x) +\frac{(1-x)^2}{2}f^{\prime\prime}(x +h_2(1-x)) .....(2)$$

poner $x=0$ $(2)\implies |f^\prime (0)| \leq \frac{A}{2}$

ahora $$(2) - (1) \implies f^\prime(x) = \frac{1}{2}(x^2f^{\prime\prime}(x - h_1x) - f^{\prime\prime}(x +h_2(1-x))(1-x)^2)$$

$$|f^\prime(x)| \leq \frac{A}{2}(2x^2 -2x+1) < \frac{A}{2} \forall x \in(0,1)$$

Answer 3

Sugerencia :Por el teorema de Rolle, $\exists c\in[0,1] $ $f'(c)=0$

El uso de la Media del teorema del valor en $f'$ muestran que esto, y el hecho de $|f''(x)|\leq A $ implica $|f'(x)|\leq\frac{A}{2}$

Answer 4

Esto no es una prueba, pero es un paso en la dirección correcta.

Con el fin de tener el máximo de $|f'(x)|$ en algún valor de x debe mantener la $|f''(x)|$ en el valor máximo para el rango completo. Por lo tanto, $|f''(x)| = A$ y para el bien de la simplicidad vamos a decir $f''(x) = -A$.

Por lo tanto:$f'(x) = C_1-Ax$ para un valor de $C_1$.

Esto significa:$$f(x) = \int(C_1-Ax)dx = C_2+C_1x-Ax^2/2$$

$$f(0) = C_2+0=0; C_2=0$$ $$f(1) = C_2+C_1-A/2=0; C_1=A/2$$ $$f(x) = Ax/2-Ax^2/2$$ $$f'(x) = A/2-Ax$$

Y usted debería ser capaz de ver que el $|f'(x)|$ ha maxima en 0 y 1, y ambos tienen el valor de A/2. Esto no es una verdadera prueba porque no he demostrado que no es posible llegar a un mayor $|f'(x)|$ mediante el uso de una función más compleja de $f''(x)$.