Pregunta acerca de la Estructura de grupo de un círculo paquete a través de una superficie de Riemann

Question

Las dos últimas páginas del Apéndice C, en Milnor Característico de las Clases da un ejemplo de un plano de un paquete con un valor distinto de cero de Euler de la clase. Tengo una pregunta acerca de la estructura de grupo de este paquete.

El ejemplo empieza con una superficie de Riemann de género de más de 2. Su grupo fundamental, $G$, es representado como un subgrupo de $\text{PSL}(2,\Bbb R)$, y actúa en la mitad superior del plano- $H$ como el grupo de cubrir las transformaciones de la superficie.

Esta acción se conserva la extendida eje real y le da un círculo paquete sobre la superficie, $E = (H \times \Bbb{RP}^1)/G \to H/G = S$.

La prueba de que es isomorfo al conjunto de las direcciones tangentes a la superficie.

Este paquete tiene una de 2 veces de la cubierta correspondiente a la cohomology de clase en $H^1(E;\Bbb Z_2)$ que se asigna en la Thom clase de los asociados 2-plano de bulto bajo la conexión de homomorphism. Esta clase existe porque el segundo Stiefel-Whitney clase del paquete es igual a cero (la superficie incluso ha característica de Euler).

Así que las 2 veces de la cubierta es otro círculo paquete y cada fibra de círculo en el original está cubierto por una de fibra de giro de las dos vertientes de la cubierta.

Ahora se afirma que la estructura de grupo de este doble cubierta trata de una representación de $G$$\text{SL}(2,\Bbb R)$. Yo creo que esto significa que es el cociente $(H\times \Bbb{RP}^1)/G$ donde $G$ ahora actúa en la línea proyectiva como un subgrupo de $\text{SL}(2,\Bbb R)$ en lugar de $\text{PSL}(2,\Bbb R)$. Esto yo no lo entiendo.

Answer 1

Todo esto viene abajo el ascensor de la acción de la $PSL(2,R)$ $RP^1$ a las 2 veces de la cubierta:

El único conectado 2 veces cubierta de $PSL(2,R)$$SL(2,R)$, actúa de forma natural en el círculo unidad $S^1$, el cual es entendido como el conjunto de orientado a líneas en $R^2$. El círculo de $S^1$ es el único de 2 veces de la cubierta de $RP^1$ (definido por olvidar la orientación de las líneas). Por lo tanto, el grupo $PSL(2,R)$ ascensores $SL(2,R)$ bajo la cobertura de mapa de $S^1\to RP^1$. El núcleo se compone de todos los $SL(2,R)$ matrices que enviar cada línea a la misma, es decir, es igual a $\{\pm I\}$. En particular, el diagrama (donde la horizontal de la flecha son acciones del grupo y flecha vertical consisten en la cobertura de los mapas y sus productos) $$\begin{array}{ccc} SL(2,R)\times S^1 & \longrightarrow & S^1\\ \downarrow &~& \downarrow\\ PSL(2,R)\times RP^1 & \longrightarrow &RP^1 \end{array}$$ es conmutativa.

El resto se hace mediante la aplicación de esta consideración a cada fibra. Por lo tanto, el bundle, que es el de 2 veces cubierta de Milnor está hablando, es $$(H\times S^1)/G$$ donde $G$ actúa en $S^1$ a través de su isomorfo elevación de$PSL(2,R)$$SL(2,R)$.

La confusión proviene del hecho de que $S^1$ es homeomórficos a $RP^1$, pero en esta situación deben ser considerados como entidades diferentes.