Las dos últimas páginas del Apéndice C, en Milnor Característico de las Clases da un ejemplo de un plano de un paquete con un valor distinto de cero de Euler de la clase. Tengo una pregunta acerca de la estructura de grupo de este paquete.
El ejemplo empieza con una superficie de Riemann de género de más de 2. Su grupo fundamental, $G$, es representado como un subgrupo de $\text{PSL}(2,\Bbb R)$, y actúa en la mitad superior del plano- $H$ como el grupo de cubrir las transformaciones de la superficie.
Esta acción se conserva la extendida eje real y le da un círculo paquete sobre la superficie, $E = (H \times \Bbb{RP}^1)/G \to H/G = S$.
La prueba de que es isomorfo al conjunto de las direcciones tangentes a la superficie.
Este paquete tiene una de 2 veces de la cubierta correspondiente a la cohomology de clase en $H^1(E;\Bbb Z_2)$ que se asigna en la Thom clase de los asociados 2-plano de bulto bajo la conexión de homomorphism. Esta clase existe porque el segundo Stiefel-Whitney clase del paquete es igual a cero (la superficie incluso ha característica de Euler).
Así que las 2 veces de la cubierta es otro círculo paquete y cada fibra de círculo en el original está cubierto por una de fibra de giro de las dos vertientes de la cubierta.
Ahora se afirma que la estructura de grupo de este doble cubierta trata de una representación de $G$$\text{SL}(2,\Bbb R)$. Yo creo que esto significa que es el cociente $(H\times \Bbb{RP}^1)/G$ donde $G$ ahora actúa en la línea proyectiva como un subgrupo de $\text{SL}(2,\Bbb R)$ en lugar de $\text{PSL}(2,\Bbb R)$. Esto yo no lo entiendo.
