Elija bases ortonormales $(E_1, E_2)$ $(F_1, F_2)$ para los dos planos. A continuación, el (hiper)el volumen del paralelepípedo generado por los $E_1, E_2, F_1, F_2$ por un lado es $\sin \theta$ donde $\theta$ es el ángulo entre los dos planos, y en el otro lado (el valor absoluto de) el determinante de la matriz dada por contigua a la de cuatro vectores:
$|\det[E_1 \, E_2 \, F_1 \, F_2]|$.
Esta cantidad es independiente de las opciones de bases ortogonales, y de hecho, incluso podemos tomar las bases de los planos a cualquiera que abarcan los paralelogramos de área de la unidad, así que no se necesita para producir una base ortogonal.
Si empezamos con las bases de $(E_i)$ o $(F_i)$, dicen que abarcan las áreas de $\lambda$$\mu$, siempre podemos normalizar ellos por el reescalado de los vectores, pero bien podría construir esta en nuestra ecuación: Las bases de $(\lambda^{-1} E_1, E_2)$ $(\mu^{-1} F_1, F_2)$ tanto span paralelogramos de la unidad de área, por lo que para bases generales del hipervolumen es
$\sin \theta = |\det[\lambda^{-1} E_1 \, E_2 \, \mu^{-1} F_1 \, F_2]| = \frac{|\det[E_1 \, E_2 \, F_1 \, F_2]|}{\lambda \mu}$,
que podemos escribir como
$\color{red}{\sin \theta = \dfrac{|\det[E_1 \, E_2 \, F_1 \, F_2]|}{|E_1 \wedge E_2| |F_1 \wedge F_2|}}$,
donde $|G_1 \wedge G_2|$ denota el área de los paralelogramos se extendió por $|G_1 \wedge G_2|$.
Esto se generaliza fácilmente a las fórmulas del ángulo entre el $k$-planos y $(n - k)$-a los aviones de los espacios vectoriales de dimensión $n$ (prueba por la situación familiar $n = 2$, $k = 1$), y con un poco más de trabajo para encontrar el ángulo entre el $k$ - $l$ - a los aviones de los espacios vectoriales de dimensión más de $k + l$.
La observación de Este modo, la materia de computación explícitamente las áreas de $|G_1 \wedge G_2|$ de los paralelogramos las bases defime. El área de $A$ del paralelogramo definido por los vectores $H_1 = (x_1, y_1), H_2 = (x_2, y_2)$ en el avión es
$A = \left\vert\det \left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2\end{array}\right)\right\vert = |x_1 y_2 - x_2 y_1|$, y su cuadrado es $A^2 = (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2$, lo que podemos reescribir como
$A^2 = [(x, y) \cdot (x, y)] [(x', y') \cdot (x', y')] - [(x, y) \cdot (x', y')]^2 = (H_1 \cdot H_1) (H_2 \cdot H_2) - (H_1 \cdot H_2)^2$.
Ahora, la fórmula $A^2 = (H_1 \cdot H_1) (H_2 \cdot H_2) - (H_1 \cdot H_2)^2$ no dependen de las coordenadas, que sólo utiliza la Euclídea (es decir, el producto escalar de a $\cdot\,$), por lo que funciona igual de bien para calcular las áreas de los paralelogramos en nuestro problema original, es decir, podemos escribir
$|G_1 \wedge G_2|^2 = (G_1 \cdot G_1) (G_2 \cdot G_2) - (G_1 \cdot G_2)^2$
y, a continuación, tomar las raíces cuadradas si nos gusta.
