$P$ es un punto en el interior de una plaza $ABCD$, que $\angle DCP = \angle CAP = 25^\circ$. ¿Qué es $\angle BPA$?

Question

Moderador Nota: esta es una pregunta de la Federal de Competencia de Matemáticas de 2013.

Así que aquí está otra bastante complejo problema: $P$ es un punto en el interior de un cuadrado de $ABCD$, de tal manera que $\angle DCP = \angle CAP = 25^\circ$. ¿Qué es $\angle ***PBA***$?

¿Alguien tiene alguna idea sobre este problema? Traté de encontrar la mayor cantidad de ángulos como pude, pero me atoraba...

Esperanza para algunas buenas respuestas :)

Markus

Answer 1

Una representación gráfica de la prueba. Una imagen para ilustrar la solución dada por Calvin Lin.

Answer 2

Considere la posibilidad de la circunferencia circunscrita de $CAP$. Desde $\angle CAP = \angle PCD$, se deduce que el $CD$ es tangencial de la circunferencia circunscrita. Por lo tanto, el circuncentro se encuentra en $BC$, que es perpendicular a $CD$$D$. También, el circuncentro se encuentra en la bisectriz perpendicular de $AC$, que es la línea de $BD$. Por lo tanto, $B$ es el circuncentro de $APC$.

Esto demuestra que $BA=BP=BC$, lo $BAP$ es un triángulo isósceles, que le da ese $\angle BPA=\angle BAP = 70^\circ$.

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Es fácil de averiguar $\angle PBA$ teniendo en cuenta lo anterior.