Localmente metrizable, pero no metrizable espacio

Question

Estoy buscando los espacios que se localmente metrizable sin ser metrizable. Aquí están las definiciones de:

Definición. Un espacio topológico $(X,\tau)$ se llama metrizable si podemos definir una métrica en $X$ que genera $\tau$. Un espacio topológico es llamado localmente metrizable si cada punto tiene un metrizable barrio.

De hecho, conozco un ejemplo, a saber, el largo de la línea. En este caso yo diría que la razón es que el largo de la línea es (en cierto sentido) demasiado tiempo para definir de manera significativa distancies entre sus puntos con el solo uso de los números reales.

Así que de hecho, estoy buscando ejemplos de otro tipo (sea lo que esto significa). Yo sé que esto no es muy riguroso, pero tal vez alguien ya sabe significativamente diferentes ejemplos.

Pregunta: ¿existen localmente metrizable, pero no metrizable espacios que no son "demasiado grandes" para una métrica, pero no tienen una por otra razón? Si no, este puede ser rigurosa de alguna manera?

Si algo como esto es posible, yo estoy buscando una lista de "razones" de por qué un espacio puede no ser metrizable, mientras que todavía siendo localmente metrizable. Ser "demasiado grandes" podría ser uno de ellos.

Answer 1

La línea con dos orígenes a nivel local es metrizable, pero ni siquiera Hausdorff. Aquí el problema es local, en contraste con el largo de la línea.

Answer 2

Una buena visión general del papel de David Gauld, cuya especialización es exactamente esto, se da un montón de condiciones equivalentes a las de un colector (localmente Euclídeo, conectado Hausdorff espacio para él), para ser metrisable.

Ver aquí , y su libro No metrisable colectores, así. Muchas de las referencias allí.

Un clásico metrisation teorema (Smirnov): un local metrisable espacio de Hausdorff es metrisable iff es paracompact.