Los números enteros que satisfacen $a^3= b^2 + 4$

Question

Bueno, he aquí mi pregunta:

Existen enteros, $a$ $b$ que satisfacen la ecuación $b^2$$+4$=$a^3$, tal que $a$ $b$ son coprime?

Ya he encontrado el caso de que $b=11$$a =5$, pero aparte de eso? Y si existen otros casos, ¿cómo puedo encontrar? Y si no, ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias de antemano. :)

Answer 1

Actualización: Este es un Mordell ecuación y de la ref E_-00004 de esta tabla todas las soluciones conocidas fueron proporcionados aquí :

E_-00004: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(2, 2)>
          R =   0.4503206856
           4 integral points
            1. (2, 2) = 1 * (2, 2)
            2. (2, -2) = -(2, 2)
            3. (5, 11) = -2 * (2, 2)
            4. (5, -11) = -(5, 11)

Multa referencias sobre este tipo de problemas son :

• de Jonquières' 1878 papel (en francés)
• Conrad papel de simple imposibilidades pruebas, pero no sólo desde el teorema $3.3$ es la prueba de que no hay otras soluciones en $\mathbb{Z}$ existe para su ecuación.

En Jonquières de papel que uno encuentra "D'autres fois, mais rarement, en démontre qu'il n'existe qu'une seule solución. C est ce qui a été fait par de Fermat, Euler Legendre et pour les équations $x^3-2=y^2$, $x^3-4=y^2$....

Esto significa que no hay otra solución existe y que esta fue demostrado por una o más entre Fermat, Euler y Legendre (voy a buscar referencias).

Answer 2

$a=5, b=11$ es uno de satisfacciones. Yo no creo que esta sea la única pareja.

Answer 3

El uso de los enteros de Gauss es fácil mostrar que la solución general de $$x^2+y^2=z^3$$ es $$x=m^3-3m n^2$$ $$y=3m^2n-n^3$$ $$z=m^2+n^2$$

Si $x=2$ obtener $m=\pm 1, \pm2$ y, a continuación, usted puede solucionar el problema.

Answer 4

Observar que

si $a=3k,b^2=a^3-4=(3k)^3-4\equiv-1\pmod 3$ pero $b^2\equiv1,0\pmod 3$

si $a=3k+1,b^2=a^3-4=(3k+1)^3-4=9(3k^3+3k^2+k)-3$ que es divisible por $3,$, pero no por $9$

Por eso, $a$ deben ser de la de $3k+2$

En consecuencia, $b^2-4=a^3-8=(3k+2)^3-8$

$(b+2)(b-2)=9k(3k^2+6k+4)$

También, como $(a,b)=1,$ $a,b$ debe ser impar $\implies (b+2,b-2)=(b+2,b+2-(b-2))=1$ $k$ es impar

Como $k$ es impar, $(k,3k^2+6k+4)=(k,4)=1$

Si $b-2=9k,b+2=9k+4$ $b+2=3k^2+6k+4\implies 3k^2-3k=0\implies k=0,1$

$k=0\implies b=2,a=2$ (pero ambos $a,b$ son impares)

$k=1\implies b=11,a^3=125,a=5$

Si $b+2=9k,b-2=9k-4$ $b-2=3k^2+6k+4\implies 3k^2-3k+8=0$ cuyo discriminante es negativo.

Si $b+2=9,a^3=b^2+4=53$

Si $b-2=9\implies b=11,a^3=b^2+4=125\implies a=5$

Si $b-2=k\implies b=k+2,b+2=k+4$ $b+2=9(3k^2+6k+4),27k^2+53k+32=0$ cuyo discriminante es negativo.

Si $b+2=k\implies b=k-2,b-2=k-4$ $b-2=9(3k^2+6k+4),27k^2+53k+40=0$ cuyo discriminante es negativo.