¿Por qué no infinito sumas algún sentido?

Question

El uso de la infinita suma de la serie, una infinita suma de (1/5)a la enésima potencia, donde n va de cero a infinito, el general de la sumatoria de la ecuación nos dice que la respuesta es 5/4. Sin embargo, ¿cómo es esto posible, teniendo en cuenta que cada suma es menor que la suma anterior? Si usted comienza a hacer los cálculos a mano, y el cálculo de la adición de cada uno suma de forma individual, se puede conseguir algo como .249984...etc... donde parece que el número de extender infinitamente a la derecha, la adición de decimales y, ocasionalmente, la revisión de los números más adelante a la derecha de la coma decimal, pero las sumas adicionales nunca debe ser lo suficientemente grande como para afectar a las respuestas iniciales en el decimal como el .2 parte de la respuesta? Me parece muy contradictorio.

Parece ser que hay una contradicción básica entre la respuesta esperada, y la respuesta de la ecuación por un amplio margen de diferencia. ¿Alguien puede explicar esto?

Answer 1

Sospecho que usted está teniendo un problema de indexación:

• Si empezamos a $n=0$, estamos en la suma $$\left({1\over 5}\right)^0+\left({1\over5}\right)^1+\left({1\over 5}\right)^2+....$$ Here $a_0=1$, so the limit is $${a_0\over 1-r}={1\over {4\over 5}}={5\over 4}.$$

• Si empezamos a $n=1$, estamos buscando a los más pequeños por $1$ suma $$\left({1\over 5}\right)^1+\left({1\over5}\right)^2+\left({1\over 5}\right)^3+...$$ Here, $a_0={1\over 5}$, not $1$, so the limit is $${a_0\over 1-r}={{1\over 5}\over{4\over 5}}={1\over 4}.$$

Answer 2

Usted simplemente olvidar incluir el primer término, $\left(\dfrac{1}{5}\right)^0 = 1$.

Answer 3

Si intenta trabajar en base 5 en lugar de en base 10, a continuación, se hará más evidente.

Es una especie de cómo el uso de 1/9 en lugar de 1/5 da 0.99999... = 1, que espero que estés de acuerdo.