¿Qué ocurrió con el sexto problema de Hilbert (la axiomatización de la física) después del trabajo de Gödel?

Question

Escribiré la pregunta, pero no estoy totalmente seguro de las premisas que planteo aquí. Lo siento si mi propuesta es demasiado tonta.

Sexto problema de Hilbert consistía a grandes rasgos en encontrar axiomas para la física (y se propuso en $1900$ ). Supongo que en aquella época tal cosa era imposible debido a la naturaleza de la física, que se basa principalmente en observaciones y modelos. Pero parece que después del trabajo de Gödel sobre $1931$ A partir de entonces, los axiomas que se consideraban verdades evidentes empezaron a considerarse afirmaciones indemostrables y el trabajo de un matemático consiste básicamente en deducir teoremas a partir de estos axiomas.

Entonces, si realmente se produjera este cambio de concepción axiomática, ¿no podríamos aceptar cualquier cosa (incluidas las observaciones físicas) como axiomas y razonar sobre sus consecuencias? Así, de algún modo resolver ¿El sexto problema de Hilbert?

Answer 1

El problema sigue abierto.

Aunque tal vez los axiomas se tomaran como autoevidentes para las matemáticas, Hilbert no quería realmente que los axiomas matemáticamente autoevidentes fueran la base de los axiomas físicos. Desde Gauß y el espacio hiperbólico, es bien sabido que se pueden obtener modelos igualmente válidos a partir de diferentes supuestos que podrían considerarse todos como "autoevidentes". ¿Tenemos geometría convexa, hiperbólica o euclidiana? Esto depende de sus axiomas y sin física no se puede llegar a eso. Así que, sean como sean los axiomas, deben contener algo de física.

En mi opinión, los teoremas de Gödel no influyeron en este problema en el sentido que usted describe. La idea de Hilbert era empezar con un puñado de axiomas que pudieran explicar una gran clase de fenómenos físicos y luego, sucesivamente, ir añadiendo axiomas para explicar más fenómenos y acercarse más a la realidad. Obviamente, en cada paso tienes que demostrar matemáticamente que todos los resultados anteriores siguen siendo válidos y que tus axiomas no son inconsistentes (los teoremas de Gödel, por supuesto, influyen en esto). No dijo nada sobre cómo obtener los axiomas. Supongo que lo que realmente tenía en mente es algo parecido a la teoría especial de la relatividad. Se toma la invariancia de la velocidad de la luz y el principio de relatividad, que se pueden formular en términos matemáticos, y se toman unos cuantos axiomas de la geometría subyacente y, a partir de ahí, se puede derivar la relatividad especial. En concreto, le preocupaba la mecánica estadística (y más tarde la mecánica cuántica) en el sentido de que la gente utilizaba valores medios y límites termodinámicos para obtener resultados, conceptos que no tenían fundamentos matemáticos sólidos en aquel momento (la axiomatización de la teoría de la probabilidad la hizo Kolmogorov algún tiempo después, los límites termodinámicos siguen siendo, que yo sepa, muy a menudo problemáticos).

Esto significa, como ya se ha señalado más o menos en los comentarios, que el problema trata realmente de física matemáticamente rigurosa. La idea de Hilbert era hacer que las matemáticas fueran rigurosas dondequiera que se utilizaran, y el rigor en su sentido (que sigue siendo el sentido actual) consiste en empezar con un puñado de axiomas y deducir todo a partir de ahí.

Así que, en cierto sentido, a Hilbert no le importaba de dónde procedían los axiomas, sólo quería tener algunos. Ni siquiera hizo una restricción en la cantidad de axiomas. Por supuesto, podríamos ponerlo todo junto, describir los problemas restantes tomando sólo las observaciones como axiomas -pero entonces podríamos obtener contradicciones/inconsistencias que podemos probar, lo que significa que tenemos que descartar estos axiomas- o tenemos una miríada de axiomas que no están realmente conectados y son muy peculiares, lo que no es realmente satisfactorio. Lo que queremos es un sistema "mínimo" de axiomas para nuestras teorías, de lo contrario se complica demasiado.

¿Ya hemos llegado? En absoluto. Tenemos unas cuantas teorías con buenos fundamentos axiomáticos (como la mecánica cuántica ordinaria, la relatividad general o la mecánica clásica), en las que tenemos "una" solución, pero quizá no una buena (¿espacios de Hilbert en mecánica cuántica? No es muy intuitivo... Las álgebras C* son un poco mejores, pero aún así) y algunas con trabajo en curso, como la teoría cuántica de campos (por ejemplo, la renormalización no es rigurosa en muchos puntos. Las integrales de trayectoria no lo son. Todo esto). Y, desde luego, no estamos cerca de tener una teoría de los objetos matemáticamente rigurosa.

Answer 2

El sexto problema de Hilbert no es lo mismo que encontrar la teoría del todo y luego hacer que las matemáticas sean rigurosas. Se trata de un error muy común, que ha llevado a la gente a pensar que lo principal era hacer rigurosa la renormalización en la QFT.

Pero de hecho Hilbert declaró explícitamente que sería igual de importante axiomatizar falso teorías físicas. Yo lo interpreto como: bueno, la QM es falsa puesto que no es covariante en general, y la GR es falsa puesto que no es cuántica, pero sigue siendo importante ver si se pueden axiomatizar o no.

Arquímedes, Newton, Maxwell y Hertz fueron verdaderos físicos que publicaron tratamientos axiomáticos de una rama de la Física. Irónicamente, aunque Hertz y Maxwell son más famosos por sus contribuciones a la Electricidad y el Magnetismo, sólo publicaron axiomatizaciones de la Mecánica.

Otro concepto erróneo es que Kolmogoroff resolvió la parte del problema de Hilbert relacionada con las probabilidades. Kolmogoroff no compartía este error. Él sabía muy bien que axiomatizar el puramente matemático teoría de las probabilidades no era más que un preliminar útil: lo que Hilbert quería realmente era axiomatizar los conceptos de probabilidad física . Dentro de la física, ¿es la "probabilidad" un concepto nuevo, primitivo, que hay que añadir a la lista de Hertz, junto con la masa y el tiempo, o puede definirse con precisión en términos de masa, tiempo, etc.? ?

A menos que la gran unificación o la renormalización arrojen nuevo dificultades axiomáticas, entonces las dos únicas cosas que quedan por hacer para resolver el Sexto PRoblema de Hilbert son: a) el problema que señaló Wigner, sobre el concepto de medida en QM (Bell analizó http://www.chicuadro.es/BellAgainstMeasurement.pdf el problema del mismo modo que Wigner), y b) la definición de probabilidad física, es decir, el concepto de probabilidad que se da en QM. El propio Hilbert estaba preocupado por la causalidad en la RG, pero él mismo resolvió ese problema. Hilbert señaló la falta de claridad en la relación entre Mecánica y Stat Mech, pero Darwin y Fowler resolvieron eso en la década de 1920.

Muchos físicos, en particular H.S. Green en "Observation in Quantum Mechanics", Nuovo Cimento vol. 9 (1958) no. 5, pp. 880-889, publicado por mí en http://www.chicuadro.es/Green1958.ps.zip y ahora los modelos más realistas de Allahverdyan, Balian y Nieuwenhuizen arXiv:1003.0453, han apuntado a la posibilidad de solucionar el problema de la "medida" que preocupaba a Wigner: han analizado el comportamiento físico de un aparato de medida y han demostrado que los axiomas de medida de la MC se deducen, aproximadamente, de la ecuación de onda. Lo hacen de una manera lógicamente circular y chapucera, pero la lógica se puede arreglar.

La probabilidad física puede definirse en la MQ, y su definición es paralela a la de la Mecánica Clásica: cada una implica el uso de un nuevo tipo de límite termodinámico (en el caso cuántico http://arxiv.org/abs/quant-ph/0507017 en el que no sólo aumenta sin límites el número de grados de libertad del aparato de medida, sino que la constante de Planck llega a cero).

Así que las personas que hicieron el trabajo más importante son: Hilbert, Wiener, Weyl, Schroedinger, Darwin, Fowler, Kolmogoroff, Wigner, Khintchine, H.S. Green, Bell, el profesor Jan von Plato y yo. (Schroedinger podría incluirse dos veces: él y Debye ayudaron a Weyl a formular la primera axiomatización de la MC. Más tarde, influyó en H.S. Green en su tratamiento de la medición como transición de fase).

Más concretamente en lo que se refiere a sus preocupaciones particulares

Goedelisation Desde el punto de vista histórico, el teorema de incompletitud de Goedel no ha influido en quienes trabajan en este problema. Ahora se abordará si esto fue miopía o sabiduría superior.

Como la Física trata del mundo real, no hay que preocuparse por su coherencia. Lo que no está claro es si necesita contener aritmética de Peano. Los conjuntos no son físicamente reales, por lo que los números tampoco lo son. Ni siquiera está claro si la Física necesita las partes de segundo orden de la Lógica que producen la incompletitud. Los axiomas habituales de la QM contienen una dinámica hamiltoniana típica, por lo que todas las preguntas físicas de la forma "Si el sistema comienza en el estado $\psi_o$ a la vez $t_o$ ¿cuál será su estado en el momento $t$ ? "se pueden responder de forma cerrada y se pueden calcular con el grado de aproximación que se desee, por lo que el sistema es el siguiente físicamente completo por así decirlo. Nótese que todas estas cuestiones son esencialmente de primer orden.

Como ha señalado otra persona, consistencia relativa es tan interesante como la coherencia, y tampoco hay que preocuparse por eso.

El propio Hilbert señaló explícitamente su propia axiomatización de la Geometría Euclidiana como ejemplo para la Física. Esos axiomas no permiten definir conjuntos ni construir todos los números reales.

Computabilidad

Algunos han intentado argumentar que, puesto que se puede construir físicamente un ordenador (o incluso una máquina de Turing), entonces los axiomas de la Física deben implicar todo lo que implica la teoría de la computación, incluida su propia incompletitud. Pero esto es obviamente falso: es físicamente imposible construir un ordenador digital sin ruido. El mundo booleano sólo puede realizarse de forma aproximada mediante máquinas construidas físicamente. Pero las pruebas de incompletitud quedan invalidadas en cuanto se introduce la noción de aproximación. Nadie ha formulado siquiera una teoría de los dispositivos físicamente realizables que sea paralela a la teoría idealizada de la computación que inventaron los matemáticos.

Y a la inversa: otros han intentado argumentar lo contrario, que puesto que la Física (ciertamente la QM) es aproximadamente computable, que por lo tanto debe ser incompleta. A mí esto me parece simplemente confuso. No toda teoría computable satisface las hipótesis del teorema de incompletitud de Goedel: La Lógica de Primer Orden es computable, decidible, completa y consistente (teoremas de Goedel y Herbrand).

los problemas indecidibles en matemáticas no son físicos

Ejemplos de problemas indecidibles en Matemáticas son: dado un conjunto cualquiera de generadores y relaciones, decidir si el grupo que determinan es no trivial o no.

Bueno, la Física no utiliza generadores y relaciones.

que implican espacios de Hilbert: No sé si es indecidible, pero sin duda es un problema salvaje para clasificar hasta la equivalencia unitaria pares de operadores en un espacio de Hilbert dado. Pero en QM, debido a la relatividad, no todos los subespacios de un espacio de Hilbert son físico . Sea $G$ sea el grupo de Lorentz y $K$ sea un subgrupo compacto maximal de $G$ . Los únicos espacios de Hilbert físicamente significativos son los que tienen un subespacio denso de $K$ -vectores finitos. Así que los únicos subespacios físicamente significativos $V$ de un espacio de Hilbert dado son aquellas cuya intersección con el $K$ -Los vectores finitos son densos en $V$ . Por tanto, ningún operador cuya imagen no satisfaga esta propiedad puede ser "físico". Esto suaviza considerablemente el problema, reduciéndolo esencialmente a álgebra en lugar de análisis.

El problema de Halting: mucha gente en este sitio ya ha intentado argumentar que, dado que implica un comportamiento temporal infinito, se trata de un problema no físico. A mí esta objeción me parece demasiado fácil y filosófica. La objeción más fuerte es que no hay ordenadores digitales en el mundo real. No hay máquinas de Turing. Porque todo lo que podemos hacer son aproximaciones ruidosas a un ordenador digital o a una máquina de Turing. En la Naturaleza no hay unidades exactamente autorreproducibles, sólo unidades aproximadamente reproducibles. (Esto supone una gran diferencia en cuanto a las probabilidades implicadas.) Ahora bien, dado que las conclusiones teóricas sobre la incompletitud, etc. dependen del comportamiento preciso de estas idealizaciones, no hay razón para pensar que sean válidas para las máquinas ruidosas reales que se detienen solas porque se cansan...

¿Qué haría falta para hacer una revolución de la Física al estilo de Goedel?

Muchos físicos ya lo han decidido, pero no son los que trabajan en el Sexto Problema de Hilbert. Wigner y Bell fueron capaces de entender la actitud axiomática de Hilbert, y el análisis de Wigner del problema con los axiomas de la QM está completamente en el espíritu de Hilbert. Si el problema que señalaba Wigner no pudiera resolverse, y si la QM sigue siendo (en este sentido) una parte fundamental de la Física (como tanto yo como Steven Weinberg estamos convencidos de que será --a diferencia de J.S. Bell, que estaba convencido de que el problema era insoluble y, por tanto, la QM se reformaría de tal manera que se eliminara la dificultad), entonces el Sexto problema de Hilbert habrá sufrido el mismo golpe que Goedel asestó a su Segundo problema. Muchos físicos han decidido, por anticipado, que éste es el caso.

Pero hay al menos dos opiniones mayoritarias que creen que el problema de Wigner puede resolverse rebajando los axiomas de medida a aproximaciones que puedan deducirse de los demás axiomas. La teoría de la decoherencia aún no cuenta con el consenso de la comunidad de físicos, pero le salvaría el pellejo a Hilbert. Hay muchos mensajes en este foro sobre la teoría de la decoherencia. La línea de razonamiento que yo prefiero, iniciada por H.S. Green y hecha más realista por Allahverdyan et al., a la que se ha hecho referencia anteriormente, hace lo mismo (aunque ellos no se ocupaban de las preocupaciones de Hilbert y, por tanto, no hacen las cosas de una manera lógicamente clara: hacen un uso libre de los seis axiomas mientras analizan la física de un aparato de medida). Feynman opinaba que algo así podía hacerse.

Las diferencias entre el enfoque de la decoherencia y el de la transición de fase son físicas y deberían, eventualmente, ser susceptibles de pruebas experimentales, para descartar uno u otro enfoque.

Answer 3

Me gustaría señalar que Springer ha publicado un libro sobre este tema. Realmente parece una lectura interesante:

• Leo Corry : David Hilbert y la axiomatización de la física (1898-1918), De los Grundlagen der Geometrie a los Grundlagen der Physik .

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad $

Answer 4

El editor del libro Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert Felix Brouwder, encargó a Arthur Wightman la tarea de describir los avances en el sexto problema de Hilbert:

Wightman, A. S. (1976). El sexto problema de Hilbert: tratamiento matemático de los axiomas de la física. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., 1974), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 147-240.

Wightman interpretó que la tarea estaba parcialmente resuelta por los axiomas de Wightman para la teoría cuántica de campos. Por supuesto, para completarla sería necesario construir el modelo estándar más la gravedad en un marco riguroso, de ahí que sea una búsqueda aún pendiente. El sitio Problema del Milenio de Yang-Mills es una pequeña parte de esta búsqueda.

Answer 5

Parece que hay pruebas de que Gödel reflexionó sobre esto. Él escribió:

"Pero, a pesar de su lejanía de la experiencia sensorial, tenemos algo parecido a una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se desprende del hecho de que los axiomas se nos imponen como verdaderos. No veo ninguna razón por la que debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensorial.

(Godel, K., "What is Cantor's Continuum Problem?", 1947, pp. 258-273 en Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Second Edition, (Benacerraf, Paul, y Putnam, Hilary, eds.), Cam- bridge University Press, Nueva York, NY, 1983).

Esto sugiere que él, refiriéndose a Gödel, otorgó el mismo peso epistemológico a la intuición matemática que a la percepción sensorial, lo que sería una forma de resolver este problema porque significa que la observación física directa no es un método epistemológico menos válido que el razonamiento metafísico.

Dudo mucho que Hilbert hubiera pensado de forma muy diferente.