¿existe un número entero negativo que sea un residuo cuadrático mod cada primo $p\equiv 7\mod 8$

Question

¿Existe un número entero negativo $n < 0$ tal que la congruencia $x^2 = n\mod p$ es solucionable para cada primo $p\equiv 7\mod 8$ ?

Si eliminamos la condición de negatividad es bien sabido que $n = 2$ funciona.

Answer 1

La respuesta es no.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $n$ es libre de cuadrados. Entonces podemos reescribir $n = -q_1q_2 \ldots q_k$ o $n = -2q_1q_2\ldots q_k$ donde el $q_i$ son primos de impar. Aquí $k \ge 1$ porque podemos descartar $n= -1, -2$ a mano. Entonces tenemos $$\binom{- q_1q_2 \ldots q_n}{p} = \binom{-1}{p}\binom{q_1}{p}\binom{q_2}{p}\ldots\binom{q_k}{p} = \pm \binom{p}{q_1}\binom{p}{q_2}\ldots\binom{p}{q_k}\\ \binom{- 2q_1q_2 \ldots q_n}{p} = \binom{-1}{p}\binom{2}{p}\binom{q_1}{p}\binom{q_2}{p}\ldots\binom{q_k}{p} = \pm \binom{p}{q_1}\binom{p}{q_2}\ldots\binom{p}{q_k}$$ La última igualdad para ambas líneas utiliza la reciprocidad cuadrática. En ambos casos el $\pm$ es independiente de $p$ y será positivo si y sólo si hay un número impar de $q$ de la forma $4m+3$ .

Nótese que por el teorema de Dirichlet podemos elegir infinitas $p$ tal que $$p\equiv 7 \pmod{8}\\ p \equiv - 1 \pmod{q_i} \text{ for } i = 1, \ldots, k$$ El cálculo de $\binom{n}{p}$ tendrá entonces un plazo de $-1$ para cada $q_i$ de la forma $4k+3$ junto con un $-1$ delante en el caso de que haya un número par de tales $q_i$ . Así, $\binom{n}{p} = -1$ como se desee.