La expectativa de Valor Mínimo de 4 Distintos números Enteros desde el Set $ \left\{1, 2, 3, \ldots, 47, 48 \right\}$.

Question

Supongamos que yo elija $4$ distintos números enteros desde el set $\{1,2,3,...,47,48\}$. ¿Cuál sería la expectativa de que el mínimo de los cuatro números (decir $X$).

Mi intento: el Uso de la cola de la fórmula de la suma obtenemos:

$P(X\geq1)+...+P(X\geq45) = \frac{48C4}{48C4}+\frac{47C4}{48C4}+...+\frac{4C4}{48C4}.$

¿Dónde puedo ir desde aquí?

P. S. ¿hay una manera de abordar esta cuestión de una forma más intuitiva sentido?

Answer 1

La definición de $ X $ como valor mínimo de los elegidos de 4 números.

Por definifion:

$$ \mathbb{E} \left[ X \right] = \sum_{i = 1}^{45} \mathbb{P} \left( X = i \right) i $$

The probability $ \mathbb{P} \left( X = i \right) $ is choosing the number $ i $ and counting the number of combinations of choosing 3 other values higher than $ i $ divided by the number of combinations to have 4 numbers out of 48:

$$ \mathbb{P} \left( X = i \right) = \frac{ \binom{48 - i}{3} }{ \binom{48}{4} } $$

This yields:

$$ \mathbb{E} \left[ X \right] = \sum_{i = 1}^{45} \mathbb{P} \left( X = i \right) i = \sum_{i = 1}^{45} \frac{ \binom{48 - i}{3} }{ \binom{48}{4} } i = 9.8 $$

El de arriba es fácil evaluar el uso de MATLAB:

% Monte Carlo Simulation:
numTrials = 5e6;

vX = zeros([numTrials, 1]);

for ii = 1:numTrials
    vX(ii) = min(randperm(48, 4));
end

mean(vX)

% Analytic Simulation

vX = [1:48].';
vP = zeros([48, 1]); %<! Probability of X
denVal = nchoosek(48, 4); %<! Number of combinatirons of 4 values out of 48

for ii = 1:45
    numVal = nchoosek(48 - ii, 3);
    vP(ii) = numVal / denVal;
end


sum(vP .* vX)

Answer 2

Utilizando la conocida combinatoria de identidad $$\binom{n+1}{k+1}=\sum_{i=0}^n\binom ik$$ con $k=4$ $n=48,$ la expectativa es $$E(X)=\sum_{i=1}^{48}P(X\ge i)=\sum_{i=0}^{47}P(X\gt i)=\sum_{i=0}^{47}\frac{\binom{48-i}4}{\binom{48}4}=\frac{\sum_{i=1}^{48}\binom i4}{\binom{48}4}=\frac{\binom{49}5}{\binom{48}4}=\frac{49}5=9.8$$