Denotemos por $JI(L)$ el conjunto de elementos join-irreducibles de un retículo $L$, es decir, elementos $g\in L$ tales que para cualquier $a, b\in L$, si $g=a\vee b$ entonces $g\in \left\{a, b\right\}$. Diremos que $L$ es un retículo $\alpha$-bueno si
1) Está equipado con una medida de probabilidad, tal que los filtros principales son conjuntos medibles, y cada singleton tiene medida $0$.
2) Cualquier elemento de $L$ es el límite superior inferior de algún subconjunto de $JI(R)$ cuya cardinalidad es estrictamente menor que la continuidad.
¿Existe un retículo bueno $L$ tal que para cualquier $g\in JI(L)$, casi todos los elementos de $L$ son mayores que $g$?
Nota que si $JI(L)$ es un subconjunto numerable de $L$ la respuesta es no.
Motivación Diremos que un retículo finito $(L,\leq)$ es un $\epsilon$-retículo si existe $g\in JI(L)$, tal que la probabilidad (uniforme) de que un elemento aleatorio de $L$ sea mayor que $g$ es menor que $1-\epsilon$. La conjetura de Frankl afirma que cualquier retículo finito es un $1/2$-retículo. Incluso la pregunta: "¿existe $\epsilon>0$ tal que cualquier retículo finito sea un $\epsilon$-retículo?" es una pregunta abierta para $\epsilon\leq 1/2$ (la llamaremos la WFC, conjetura débil de Frankl). Si WFC es incorrecta, entonces podemos encontrar $(L_i,\leq ,0_i)_{i\in \mathbb N}$ y equipar $L:=L_0\times L_1\times L_2....$, con la medida de probabilidad producto $\mathbb P$ de la probabilidad uniforme en cada $L_i$, de tal manera que para cualquier $g=(g_0,g_1....)\in JI(L_0)\times JI(L_1)...$, tenemos $sup_{j\in \mathbb N}\mathbb P(x\in g^j)=1$ (***)
donde $g^j= \left\{x\in L,\, (0_0,0_1,...0_{j-1},g_j,g_{j+1}...)\leq x\right\}$. Si consideramos $M$ el subretículo de $L$ tal que ninguna proyección en algún $L_i$ es $0_i$, y si decimos que para cualquier $a, b\in M$, $a\leq_M b$ si $a^k\leq b$ para algún $k\in \mathbb N$, entonces el cociente $M^*$ obtenido de $M\cup\left\{0\right\}$ identificando $a$ y $b$ si $a\leq_M b$ y $b\leq_M a$, es un buen retículo cuando se equipa con $\mathbb P^*$ de tal manera que $\mathbb P^*(A)=\mathbb P(\left\{x\in L,\,\exists y\in A,\,\, y\leq_M x\,\,and\,\, x\leq_M y\right\})$. Y si no me equivoco, la condición (***) implica que para cualquier $g\in JI(M^*)$ tenemos $\mathbb P^*(x>g)=1.
[el problema es que $M^*$ no está generado por $JI(M^*)$ (ni siquiera es completo como retículo), por lo que para que la pregunta se ajuste mejor a la motivación, se debería poner en lugar de la condición 2) una hipótesis más débil y simplemente preguntar si un "nuevo buen retículo" satisface $\sup M^*=\sup K$ para algún $K\subset JI(M^*)$, tal que $|K|<|\mathbb R|$. Abro un nuevo post, más específico para el enlace entre la (misma) motivación y una pregunta (un poco diferente): Probabilidad, Axioma de Martin y la Conjetura "débil" de Frankl
