¿Es la intersección de dos subgrupos, definidos abajo, siempre trivial?

Question

Supongamos que $G = \mathbb{Z} \ast H$, donde $H$ es un grupo libre de torsión. Supongamos que $g \in G$ y $g \notin H. ¿Es $\langle\langle g \rangle \rangle \cap H$ siempre trivial? ($\ast$ representa el producto libre, y $\langle \langle \dots \rangle \rangle$ representa el cierre normal)

He fallado en construir un contraejemplo, pero tampoco tengo idea de cómo probar esta afirmación.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Sea $a\in G$ la imagen de $1\in\mathbb{Z}$. Elija algún $h$ no trivial en $H$ y tome $g=aha^{-1}$. Entonces $g\not\in H$, pero $h\in H\cap\langle\langle g\rangle\rangle$.