Caracterización de matrices tales que $AX=XA^T$

Question

Sea $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ . Es $A=aI$ donde $a \in \mathbb{R}$ la única clase de matrices tales que $$AX=XA^T,\quad \forall X\in\mathbb{R}^{n \times n},~X\text{ symmetric}?$$

Answer 1

Para explicar con más precisión mi respuesta:

En $X=I$ el problema pasa a ser el siguiente:

¿Qué se puede decir de $A$ si $AX=XA$ para toda matriz simétrica $X$ ?

Para cualquier matriz simétrica $X_1$ y $X_2$ que tienes: $$A(X_1 X_2)= X_1 A X_2=(X_1 X_2) A$$ Pero para cualquier $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ existe $X_1, X_2$ matrices simétricas tales que $B=X_1 X_2$ (véase, por ejemplo aquí ).

Así que $AB=BA$ para todos $B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ y luego $A= a I$ .

Answer 2

Ponga $X=I$ vemos que $A$ es simétrica. Pon $X=vv^T$ para algunos $v\ne0$ vemos que $(Av)v^T=vv^TA=vv^TA^T=v(Av)^T$ . Por lo tanto $Av$ es un múltiplo escalar de $v$ . Es decir, $A$ es una matriz tal que cada vector distinto de cero es su vector propio. En general, las únicas matrices (simétricas o no) con esta propiedad son las matrices escalares.

Answer 3

Como dijo @Delta-u, con $X=I_n$ se obtiene $A=A^T$ . Por el teorema espectral, existe una matriz ortogonal $P$ y una matriz diagonal $D$ tal que $P^TDP=A$ .

Realizar el cambio de variables $Y=P^TXP$ vemos que $D$ debe conmutar con cualquier matriz simétrica $Y$ . Escriba a $D=diag (d_1,\ldots, d_n)$ . Supongamos que $D$ tiene dos entradas diferentes. Conjugando por una matriz de transposición adecuada (que es ortogonal), podemos suponer que $d_1\neq d_2$ sin pérdida de generalidad.

Entonces la matriz simétrica diagonal en bloque $Y=\begin{pmatrix}0 & 1 & \cr 1 & 0 & \cr & & I_{n-2}\end{pmatrix}$ no conmuta a $D$ por lo que es una contradicción. Por lo tanto, $D=d I_n$ . Ahora $A=dP^TP=dI_n$ desde $P$ es ortogonal.