Resolver la siguiente ecuación Diferencial: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^4}+y^2$

Question

Resolver la siguiente ecuación Diferencial: $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^4}+y^2$$

Yo: Vamos a $x^2y=t$ hemos

$$y=\frac{t}{x^2}$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2dt-2txdx}{x^4}$$

Pero $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+t^2}{x^4}$$ $\implica$

$$x^2dt-2txdx=1+t^2$$

cualquier forma de proceder de aquí?

Answer 1

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^4}+y^2$$ Este un Riccati de la educación a distancia. Aplicando el método habitual para resolver (véase la nota 2):

El cambio de función : $y(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)}\quad;\quad y'=-\frac{u''}{u}+\frac{(u')^2}{u^2}$ transforma la ODA a :

$-\frac{u''}{u}+\frac{(u')^2}{u^2}=\frac{1}{x^4}+\left(-\frac{u'(x)}{u(x)}\right)^2$. Después de la simplificación : $$u''+\frac{1}{x^4}u=0$$ $$u=c_1x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+c_2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$ $u'=\left(c_1+\frac{c_2}{x}\right)\sin\left(\frac{1}{x}\right)+\left(c_2-\frac{c_1}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ $$y(x)=-\frac{\left(c_1+\frac{c_2}{x}\right)\sin\left(\frac{1}{x}\right)+\left(c_2-\frac{c_1}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{c_1x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+c_2x\cos\left(\frac{1}{x}\right)}$$ Nota 1 : Esto puede ser escrito con una constante arbitraria sólo $\frac{c_1}{c_2}$ o, alternativamente $\frac{c_2}{c_1}$.

Nota 2 : Norma De Calidad Ambiental.(4-6) en http://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html

Esto transforma el Riccati la educación a distancia en un lineal de segundo orden de la educación a distancia. A primera vista, el aumento de la orden parece contraproducente. Pero a menudo es un método eficiente ya que la resolución de un lineal de segundo orden de la educación a distancia es generalmente más simple que la solución de un no-lineales de primer orden de la educación a distancia. La linealidad es la clave de la propiedad.

Answer 2

La sustitución de $$y(x)=-\frac{\frac{dv(x)}{dx}}{v(x)}$$ $$-\frac{\frac{d^2v(x)}{dx^2}}{v(x)}+\frac{\left(\frac{dv(x)}{dx}\right)^2}{v(x)^2}=\frac{\left(\frac{dv(x)}{dx}\right)^2}{v(x)^2}+\frac{1}{x^4}$$ $$-\frac{d^2v(x)}{dx^2}=\frac{v(x)}{x^4}$$ Deje $$v(x)=xu(x)$$ a continuación, $$x\frac{d^2u(x)}{dx^2}+2\frac{du(x)}{dx}+\frac{u(x)}{x^3}=0$$ Deje $t=\frac{1}{x}$ $$\frac{\frac{d^2u(x)}{dx^2}}{t}+2\frac{du(x)}{dx}+t^3u(x)=0$$ luego, por la regla cahin $$-2t^2\frac{du(t)}{dt}+\frac{t^4\frac{d^2u(t)}{dt^2}+2t^3\frac{du(t)}{dt}}{t}+t^3u(t)=0$$ $$t^3\left(\frac{d^2u(t)}{dt^2}+u(t)\right)=0$$ esto le da a $$\frac{d^2u(t)}{dt^2}+u(t)=0$$ Solución: $$u(t)=C_1e^{it}+C_2e^{-it}$$