¿De cuántas maneras se puede obtener un número impar de cada color en cada cubo?

Question

Supongamos que tienes un número impar de bolas blancas y el mismo número de bolas negras.

¿Cuántas formas diferentes hay de colocar las bolas en las papeleras para que que tengas un número impar de cada color en cada cubo?

Por ejemplo, si tiene $3$ blanco y $3$ negro hay $2$ diferentes maneras. O las pones todas en una papelera o una blanca y una negra en cada una de $3$ contenedores. Para $5$ blanco y $5$ bolas blancas hay $4$ diferentes maneras. Éstas son:

(wwwwwbbbbb)
(wwwbbb)(wb)(wb)
(wwwb)(wbbb)(wb)
(wb)(wb)(wb)(wb)(wb)

Answer 1

El índice de ciclo $Z(S_n)$ del grupo simétrico (operador de conjuntos múltiples $\def\textsc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}}\textsc{MSET}$ ) tiene $Z(S_0)=1$ y la recurrencia

$$Z(S_n) = \frac{1}{n}\sum_{l=1}^n a_l Z(S_{n-l}).$$

Extrayendo los coeficientes de este Maple se obtendrá

$$1, 2, 4, 12, 32, 85, 217, 539, 1316, 3146, 7374, 16969, 38387, 85452, \\ 187456, 405659, 866759, 1830086, 3821072, 7894447, 16148593, \\ 32723147, 65719405, 130871128, 258513076, 506724988, \ldots$$ donde hemos utilizado la memoización.

El repertorio aquí era $$f(W, B) = \sum_{p_1=0}^q \sum_{p_2=0}^q W^{2p_1+1} B^{2p_2+1},$$

la sustitución $a_l = f(W^l, B^l)$ y el coeficiente que se extrae

$$\sum_{k=1}^{2q+1} [W^{2q+1}] [B^{2q+1}] Z(S_k)(f(W,B)).$$

El código de Maple es el siguiente.

X :=
proc(n, q, q1, q2)
option remember;

    if n = 0 then
        if q1 = 0 and q2 = 0 then
            return 1;
        else
            return 0;
        fi;
    fi;

    add(add(add(X(n-l, q, q1-(2\*p1+1)\*l, q2-(2\*p2+1)\*l),
                p2=0..floor((q2/l-1)/2)),
            p1=0..floor((q1/l-1)/2)),
        l=1..n)/n;
end;

R := q -> add(X(k, q, 2\*q+1, 2\*q+1), k=1..2\*q+1);

Answer 2

En términos más generales, el coeficiente de $x^my^n$ en

$$ \prod_{i,j\geq 0}(1-x^{2i+1}y^{2j+1})^{-1} $$

le indica cuántas formas hay de distribuir $m$ blanco y $n$ bolas negras en cubos de tal manera que cada cubo contenga un número impar de bolas blancas y un número impar de bolas negras.

Existe una correspondencia entre las particiones de un número en impar números y los del mismo número en diferente números. La misma idea da una correspondencia entre las formas de poner las bolas en los cubos según las reglas dadas y las formas de poner las bolas en los cubos de forma que no haya dos cubos con el mismo contenido y, para cada cubo, el número de bolas blancas y el número de bolas negras sea divisible por la misma potencia de dos (tienen el mismo $2$ -evaluación de la adicción). Por ejemplo, una papelera con $6$ et $10$ está permitido, pero una papelera con $6$ et $12$ pelotas no es.

Por lo tanto, la función generadora también puede expresarse como

$$ \prod (1+x^iy^j) $$

donde el producto es sobre todos los pares de enteros positivos $i$ et $j$ tal que $i$ et $j$ tienen el mismo $2$ -(es decir, existe un número entero $k$ tal que $(i,j)=2^k\cdot (r,s)$ para algunos enteros Impares $r$ et $s$ ).