Una interesante igualdad con respecto a una línea a través del centroide de un triángulo

Question

$G$ es la intersección de las medianas de $\triangle{ABC}$, e $K$ $L$ son puntos en $AB$$AC$, respectivamente, de tal manera que $G$ es un punto en el $KL$. La línea determinada por $K$ $L$ cruzan la línea determinada por $B$$C$$P$. Si $C$ entre $B$$P$, \begin{equation*} \frac{1}{KG} = \frac{1}{LG} + \frac{1}{GP} . \end{ecuación*}

Answer 1

Escribir $KG=x$, $GL =y$ y $LP =z$. Entonces tenemos que demostrar $y^2+zy =2xy+xz$.

También vamos a $R$ mitades $BC=2a$ y mark $CP=b$.

Ahora, si aplicamos el teorema de Menelao dos veces sobre el triángulo $GRP$

primera transversales $B-K-A$ tenemos $${b+2a\over a}\cdot {3\over 2}\cdot {x\over x+y+z}=1$$ and second on transversal $C-L-a$ we get $${b\over a}\cdot {3\over 2}\cdot {y\over z}=1$$ y la eliminación de ${b\over a}$ a partir de ambos, se obtiene una fórmula deseada.