Distribución de $X+Y$ cuando $X$ y $Y$ son i.i.d con pdf $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias independientes con densidad común $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ donde $\alpha\geqslant1$ . Sea $U=\min(X,Y)$ y $V=\max(X,Y)$ . Encuentre la densidad conjunta de $(U,V)$ y por lo tanto encontrar el pdf de $U+V$ .

Como $U+V=X+Y$ Simplemente puedo encontrar el pdf de $X+Y$ para ver lo que el pdf de $U+V$ debería ser.

Obtengo el pdf de $T=X+Y$ para ser $$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$$

Sin embargo, no estoy seguro de que esa integral pueda simplificarse.

Volviendo a la pregunta real, el pdf conjunto de $(U,V)$ viene dada por

$$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$$

Hice un cambio de variables $(U,V)\to(W,Z)$ donde $W=U+V$ y $Z=U$ . El valor absoluto de la jacobiana es la unidad. También, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Así que el pdf marginal de $W$ es

$$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$$

Es posible que haya cometido algún error en los soportes propios de las variables aleatorias. También es posible que la integral no tenga solución en términos de funciones elementales. En cualquier caso, no he podido continuar con la integral. Así que no he podido comprobar que $W=U+V$ tiene el mismo pdf que $T=X+Y$ . Parece que estoy recibiendo diferentes distribuciones de $W$ y $T$ . Y por curiosidad, ¿la distribución de $X$ tiene un nombre (en cuyo caso habría buscado la convolución de dos variables aleatorias de este tipo)?

Editar.

Procediendo con la última integral que obtengo a mano

$$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$$ donde $I_{x}$ es la función beta incompleta regularizada. Utilizando la propiedad $I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$ obtenemos $I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$ . Así que finalmente tenemos $$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$$

Esto implica que

$$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$$

Que esto es no una densidad en el rango dado de $w$ es fácil de ver. Así que siento que he cometido un gran error en alguna parte. He comprobado mis cálculos con Mathematica y parecen estar de acuerdo.

Answer 1

Desde \begin {align} \int_ { \max (t- \beta ,0)}^{ \min (t, \beta )}(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y\a}, \mathbf1_ {0<t<2 \beta }&= \begin {casos} \int_ {0}^{t}(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y& \text {cuando }0 \le t \le \beta\\ \int_ {t- \beta }^{ \beta }(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y& \text {cuando } \beta\le t \le 2 \beta\\ \end {casos} \\ \end {align} tenemos ( $t<\beta$ ) $$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$$ y por un cambio de variable $z=t-y$ en la segunda integral de la derecha $$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$$ Del mismo modo, cuando $t>\beta$ , \begin {align*} \int_ {t- \beta }^{ \beta }(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y&= \int_ {t- \beta }^{t/2}(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y+ \int_ {t/2}^{ \beta }(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y \\ &=2 \int_ {t/2}^{ \beta }(y(t-y))^{ \alpha -1}\, \mathrm {d}y \end {align*} de nuevo por un cambio de variable $z=t-y$ en la segunda integral de la derecha. Sin embargo, no puedo recuperar la misma expresión funcional para la densidad en este segundo caso , a saber $$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$$

Ahora, como se señala en la pregunta, $$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$$ por un cambio de escala, lo que implicaría que la distribución de interés tiene la densidad $$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$$ que lo convierte en un Beta ${\cal B}(2\alpha,1)$ distribución reescalada en $(0,2\beta)$ por lo que con la densidad $$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$$

Esto supone una contradicción si se tiene en cuenta la increíblemente respuesta detallada de W. Huber , ya que los uniformes son Beta ${\cal B}(1,1)$ . Y como la suma de dos Uniformes no es una Beta ${\cal B}(2,1)$ variable aleatoria, sino una rv con densidad de "tienda".

Aparte: De forma más general, una suma de variantes de Beta no es otra variante de Beta, la "explicación" es sencilla al considerar las Betas como dos Gammas normalizadas por su suma. Al sumar dos Betas se obtienen sumas diferentes en el denominador.

Se trata, pues, de la derivación de la densidad de $W=U+V$ : ya que $$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$$ un cambio de variables $(Z,W)=(U,U+V)$ lleva a $$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$$ y las restricciones de los indicadores son $$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$$ Por lo tanto, en conclusión, $$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$$ a saber, (1) y no la expresión propuesta (2).