¿Cuáles son todas las suposiciones subyacentes en la definición de producto cartesiano en la teoría de conjuntos ingenuos?

Question

En el libro "la Teoría de conjuntos Ingenua" de Halmos hay una frase que

... la serie única $A \times B$ en que consiste exactamente los pares ordenados $(a, b)$$a$$A$$b$$B$. Este conjunto se llama producto Cartesiano de a$A$$B$; se caracteriza por el hecho de que $A \times B = \{ x : x = (a, b) \text{ for some } a \in A \text{ and for some } b \in B\}$

No puedo entender varias cosas aquí y creo que me pierda algunos puntos importantes.

1. ¿Por qué "para algunos" en lugar de "para todos"? Porque ello implica que no puede ser $(a, b)$ cuando en realidad $a \in A \text{ and } b \in B$ pero $(a, b) \notin A \times B$.
2. Se dice que "se caracteriza por el hecho". Que hecho? Puede usted explicar? Está aplicando el axioma de especificación denominada "el hecho de que" si entiendo el axioma correctamente? En mi comprensión de la definición (o especificando) en un conjunto mediante una sentencia cuyos elementos son los elementos de otro existente conjunto es lo que el axioma es acerca de.

También me di cuenta de un comentario, donde el autor dice que la definición de la pregunta no es en realidad desde la ingenua teoría de conjuntos y reescribió el uso de "para algunos", afirmando que sería de ingenuos teoría de conjuntos. Pero no puedo entender cuál es el problema aquí.

Answer 1

La manera que usted debe leer $\{x : P(x)\}$ es "El conjunto de todos los $x$ que satisfacen la condición $P(x)$." Para definir $A \times B$ de esta forma, nos preguntamos: "¿Cuál es la condición de que un determinado elemento $x$ debe satisfacer para ser en $A \times B$?"

La respuesta a esa pregunta es "debe ser de la forma $(a,b)$ algunos $a \in A$ y, para algunos,$b\in B$." Así que eso es lo que se escribe en la definición de conjunto.

Usted quiere tener un "para todos" de la instrucción relacionada "Para todos los $a \in A$ y para todos $b \in B$, $(a,b)$ es un elemento de $A \times B$." Pero ese no es el tipo de declaración que hemos puesto en una definición de conjunto. Si usted fuera a escribir $$ \{ x: x = (a,b) \text{ para todos los $a \in A$$b\in B$}\} $$ entonces significaría algo diferente. Esto significaría que para comprobar si un elemento $x$ es en este conjunto, se construiría pares ordenados $(a,b)$ todos los $a\in A$$b \in B$, y prueba si $x$ es igual a todos ellos simultáneamente. Esto es imposible a menos de que estemos en el caso excepcional de $|A|=|B|=1$, donde solo hay un par.

(O menos $|A|=0$ o $|B|=0$, en cuyo caso esta definición se ejecuta en raros "ingenua teoría de conjuntos no siempre funciona bien".)

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Para la segunda pregunta, la frase "el hecho de que" puede y debe ser omitido de todas las sentencias en las que se produce. Así que usted puede leer la cita como

El conjunto $A \times B$ se caracteriza por $$ A \times B = \{ x: x = (a,b) \text{ para algunos $a \in A$ y, para algunos,$b\in B$}\} $$

La frase "se caracteriza por" medios "es la única cosa que la satisfacción de la descripción" o "son las únicas cosas que satisface la descripción", dependiendo del contexto.

Answer 2

(1) el conjunto (para $A,B\ne\emptyset$) $ \ {x: x = (a, b) \text {para todos} a\in A \text {y para todos} b \in B} $$ estará vacía con una excepción (qué excepción?) porque $$(a_1,b_1) = (a_2,b_2)\iff a_1 = a_2\land b_1 = b_2$ $ 2 la frase "se caracteriza por el hecho de" significa "se define por".