Invariante extraño de los grupos de reflexión finitos

Question

Estoy buscando una prueba de lo siguiente:

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial real de dimensión $n$ en $\mathbb R$ dotado de un producto interno $\langle \,, \rangle$ . Fijar una base $e_1, \cdots, e_n$ para $V$ y la base dual $x_1, \cdots, x_n$ para $V^*$ .

Dejemos que $G$ sea un grupo de reflexión finito que actúa sobre $V$ y, por tanto, actuando sobre el anillo $\mathbb R[x_1,\cdots, x_n]$ como $g\cdot P(v)= P(g^{-1} \cdot v)$ . Por definición $\langle \,, \rangle$ es $G$ invariante.

Dejemos que $P(v),Q(v) \in R[x_1,\cdots, x_n]$ homogéneo y $G$ -polinomios invariantes, es decir $g \cdot P(v) = P(v)$ por cada $g \in G$ para cada $v \in V$ .

Entonces $$\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial P}{\partial x_i}\frac{\partial Q}{\partial x_j}\langle e_i,e_j\rangle$$ es $G$ -invariante.

Ejemplo: Consideremos el sistema de raíces $\Phi=B_2$ y su grupo asociado $G$ ; elija una base hortonormal para $V=\mathbb R^2$ . Una base para el anillo de invariantes $\mathbb R[x,y]^G$ viene dada por $$P(x,y)=x^2 + y^2$$ $$Q(x,y)=x^2y^2.$$ A continuación, calculamos $$\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial P}{\partial x_i}\frac{\partial P}{\partial x_j}\langle e_i,e_j\rangle = 2x(2x) + 2y(2y) = 2(x^2 + y^2) = 2P(x,y).$$ $$\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial P}{\partial x_i}\frac{\partial Q}{\partial x_j}\langle e_i,e_j\rangle = 2x(2xy^2) + 2y(2x^2y) = 8x^2y^2 = 8Q(x,y)$$ $$\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial Q}{\partial x_i}\frac{\partial Q}{\partial x_j}\langle e_i,e_j\rangle = (2xy^2)^2 + (2x^2y)^2 = 4x^2y^2(x^2+y^2) = 4Q(x,y)P(x,y).$$ Todos ellos son polinomios en $P$ y $Q$ y, por tanto, invariantes.

Pensamientos: cuando la base es ortonormal, esto es sólo el producto interno entre gradientes, por lo que una interpretación geométrica de esto puede decirnos que en cualquier punto fijo $v$ el ángulo entre los dos gradientes no va a cambiar, por lo que es invariable. No sé cómo producir una prueba algebraica en el entorno general.

Answer 1

Dejemos que $R= \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ . Desde $V$ lleva un $G$ -producto interno invariante $\langle-,-\rangle$ el mapa $e_i \mapsto x_i=\langle e_i,-\rangle$ es un $G$ -isomorfismo $V \to V^*$ y $\langle x_i,x_j\rangle := \langle e_i,e_j\rangle$ es un $G$ -producto interno invariante en $V^*$ .

Entonces el mapa $$ \phi: R \to R \otimes V^*$$ dado por $f \mapsto \sum \frac{\partial f}{\partial x_i}\otimes x_i$ es $G$ -invariante. Sea $\phi'$ sea el mismo mapa pero con el orden de los factores del tensor intercambiado, por lo que tiene imagen en $V\otimes R$ . Consideremos ahora la siguiente composición de $G$ -homorfismos: $$ R\otimes R \stackrel{\phi\otimes\phi'}\to R\otimes V^* \otimes V^* \otimes R \stackrel{\operatorname{id}\otimes \langle-,-\rangle\otimes \operatorname{id}}\to R\otimes R \stackrel{\text{multiplication}}\to R.$$ Dado que se trata de un $G$ -homofobia, la imagen de $P\otimes Q$ será $G$ -invariante --- pero la imagen es su 'invariante rara'.

Para ver por qué $\phi$ es un $G$ -homorfismo se necesita un poco de álgebra multilineal. Para cualquier $G$ y cualquier $G$ -Módulo $M$ Hay un mapa de "contracción". $c: S^r(M) \otimes M^* \to S^{r-1}(M)$ que envía $f\otimes m_i^*$ a $\frac{\partial f}{\partial m_i}$ y es un $G$ -homorfismo --- se puede leer sobre esto en Fulton y Harris Teoría de la representación por ejemplo. Aquí $S^r(M)$ es el $r$ potencia simétrica, por lo que el anillo polinómico en $M$ que llamaré $S(M)$ es sólo la suma directa de los $S^r(M)$ para $r\geq 0$ . Ahora hay un $G$ -mapa $\iota: S(M) \to S(M)\otimes M^* \otimes M$ enviando $f \mapsto f\otimes \sum_i m_i^* \otimes m_i$ donde el $m_i$ son la base de $M$ porque $\sum_i m_i^*\otimes m_i$ abarca un submódulo trivial de $M^*\otimes M$ . Entonces $(c\otimes 1)\circ \iota$ es el mapa $\phi$ .