La manera simple de mostrar que la velocidad de deriva de las coordenadas de Schwarzschild no tiene ningún significado absoluto es para derivar una expresión para la velocidad medida por un observador y demostrar que no están de acuerdo. En particular, vamos a elegir un shell observador, es decir, un observador rondando fijo $r$, $\theta$ y $\phi$ (es de suponer que el uso de alguna forma de cohete en el motor). Una vez más, vamos a considerar un radial de los rayos de luz.
Utilizaremos $t'$ $r'$ por el tiempo y las coordenadas radiales en la concha de marco, y $R$ de la distancia radial de la concha observador mide en las coordenadas de Schwarzschild.
En el marco del resto de la concha observador consideramos que la infinitesimal en el tiempo apropiado,$dt'$. Comparando esto con la métrica de Schwarzschild nos encontramos en la posición de la shell observador:
$$ dt'^2 = (1 - r_s/R)dt^2 $$
que nos da:
$$ \frac{dt'}{dt} = \sqrt{1 – r_s/R} \tag{2} $$
El fuerte de ojos entre verás que esto es sólo la expresión bien conocida para el de la dilatación del tiempo gravitacional a una distancia $R$. Un argumento similar para el infinitesimal distancia adecuada $dr'$ le da:
$$ \frac{dr'}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \tag{3} $$
que es simplemente la ecuación correspondiente para la parte radial de la dilatación. Usando la ecuación (1) de la pregunta y de las ecuaciones (2) y (3) ahora podemos calcular la velocidad de la luz en la posición de la shell observador usando la regla de la cadena:
$$\begin{align}
\frac{dr'}{dt'} &= \frac{dr}{dt} \frac{dr'}{dr} \frac{dt}{dt'} \\
&= \pm c \left(1 - \frac{r_s}{R}\right) \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \\
&= \pm c
\end{align}$$
Y aquí está nuestro primer resultado. El shell observador mide la velocidad de la luz en su ubicación para ser $c$, y esto es independiente de la $R$, por lo que es cierto para todos los shell de observadores.
Debo destacar que he hecho ninguna hipótesis en este trabajo. Es pura álgebra y no hay posibilidad de engaño. Los dos observadores realmente encontrar diferentes resultados para la velocidad de la luz. Tampoco es el adecuado y tampoco está mal - esto demuestra que las coordenadas de la velocidad de la luz es observador dependiente no es una cantidad absoluta.
Pero podemos hacer algo mejor que esto. Podemos extender el análisis para encontrar la velocidad de la luz en el shell de coordenadas radiales distancias mayores y menos de la shell de distancia. El argumento es esencialmente el mismo que el anterior, así que voy a dar el resultado:
$$ \frac{dr'}{dt'} = \pm c \frac{1- r_s/r}{1 – r_s/R} \tag{4} $$
Y esto se parece (por $R = 2r_s$):
![Coordinate speed of light]()
Como el de Schwarzschild observador de la cáscara observador ve el coordinar la velocidad de la luz del otoño, cuando la luz está más cerca del objeto masivo que ellos, pero la concha de observador ve la luz moverse más rápido que la $c$ cuando la luz está más lejos del objeto de lo que son. De manera que el shell y de Schwarzschild observadores están de acuerdo en la velocidad de la luz por ningún lado (excepto en el horizonte de sucesos, si existe uno), pero ambos están de acuerdo en que la velocidad de la luz en su ubicación es $c$.
Y esto hace que el punto. Shell observadores no son algunos teóricos de la ficción - tú y yo somos shell observadores en virtud de la constante de la distancia desde el centro de la Tierra y de la ecuación (4) da la velocidad de la luz que usted y yo observábamos. El punto es que la coordenada de la velocidad de la luz depende del observador y no tiene ningún significado absoluto.
