Estoy tratando de probar la existencia de infinitos números primos $p$ modulo que el polinomio $X^{3} - 2$ no tiene ninguna raíz. En particular, quiero encontrar el valor exacto de la densidad del conjunto de los números primos. Creo que en algún lugar tengo que usar el Chebotarev Densidad Teorema, pero soy incapaz de hacerlo. ¿Puede alguien decir cómo encontrar la densidad con o sin el uso de la Chebotarev Densidad Teorema?
Respuestas
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Lord Shark the Unknown
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Deje $f$ ser un polinomio irreducible sobre $\Bbb Z$ con grado $n$. Deje $G$ ser su Galois grupo considerado como un subgrupo de $S_n$ a través de su acción sobre los ceros de $f$.
Deje $a_1,\ldots,a_n$ ser números enteros no negativos con $a_1+2a_2+\cdots+na_n=n$. Deje $A$ el conjunto de los números primos $p$ de manera tal que el modulo $p$ factorización de $f$ $a_j$ factores de grado $j$, para cada una de las $j$ Chebotarev densidad significa la Dirichlet densidad de $P$ $c/|G|$ donde $c$ es el número de elementos de a $G$ con la estructura del ciclo de $1^{a_1}2^{a_2}\cdots n^{a_n}$. En particular, el conjunto de los números primos $p$ $f$ irreductible modulo $p$ ha de Dirichlet densidad de $c/|G|$ donde $c$ es el número de $n$-ciclos en $G$. Esta densidad es $1/n$ al $G=S_n$.
En su ejemplo, donde $f=X^2-2$, $G=S_3$ y la densidad de Dirichlet usted busca es $1/3$.
ejboy
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151
En su no-analítica de la prueba de los principales teoremas de la teoría de campo, Chevalley tenía que demostrar la existencia del primer ideales que permanecen inertes en forma cíclica extensiones sin el uso de cualquier densidad teorema. Usted debe encontrar este resultado en un par de libros en idelic campo de la clase de teoría. En su caso, mira el polinomio $X^3 - 2$${\mathbb Q}(\sqrt{-3})$.
Roger Hoover
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Supongamos $p>3$. Si $p\equiv 2\pmod{3}$, el mapa de $x\mapsto x^3$ es bijective $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})$, por lo tanto $x^3-2$ tiene seguro de una raíz en $\mathbb{F}_p$. Si $p\equiv 1\pmod{3}$, el mapa de $x\mapsto x^3$ envía $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^*$ en un subgrupo $H$ $\frac{p-1}{3}$ elementos, y $x^3-2$ factores $\mathbb{F}_p$ fib $2\in H$. Si $p\equiv 1\pmod{3}$, se espera que esto suceda con una probabilidad de $\approx\frac{1}{3}$, ya que el tamaño de $H$ es aproximadamente un tercio del tamaño de $\mathbb{Z}/(p\mathbb{Z})^*$.
De ello se desprende que una por una al azar prime $p$ en el intervalo de $[4,M]$, el polinomio $x^3-2$ no tiene raíz en $\mathbb{F}_p$ con una probabilidad dada por
$$\mathbb{P}[p\equiv 1\!\!\!\!\pmod{3}]\cdot \mathbb{P}[2\not\in H] \approx \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\color{red}{\frac{1}{3}}.$$ Usted no debería encontrar ningún problema en la transformación de este argumento en un riguroso argumento a través de Chebotarev Densidad Teorema. Cúbicos de reciprocidad puede ser utilizado en conjunto, o en lugar del resultado anterior.
