Rollo de once dados tales que el producto es el prime

Question

Así que el problema es: ¿Cuál es la probabilidad de obtener once dados tales que su producto es primo. Los dados es numerados de 1 a 6 y no hay una igualdad de oportunidad de conseguir que cada número.

Así, para que el producto sea de primer, todos menos uno de los números debe ser 1. El número que no sea 1 debe ser de 2, 3 o 5. Por lo que el número total de maneras en que 2, 3, o 5 puede ser formado a través de la multiplicación es de 3*11 = 33. Yo divide 33 por el número total de productos que se pueden formar, o $6^{11}$.

Mi solución original rendimientos básicamente el mismo valor numérico, pero dudo de su veracidad. Por el binomio teorema de la probabilidad, la probabilidad de obtener un 1 diez veces y un número de además 1 es

$$_{11}C_{10} \left(\frac{1}{6}\right)^{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{1} $$

Dado que el número restante no es 1, la probabilidad de obtener 2, 3, o 5 $\frac{3}{5}$. Por tanto, debemos multiplicar juntos para obtener la probabilidad de $$_{11}C_{10} \left(\frac{1}{6}\right)^{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{1}\left(\frac{3}{5}\right)$$

Este problema fue originalmente una cuestión de prueba, pero muchos de mis compañeros dieron una respuesta diferente de $$ \left(\frac{(3*11)}{6^{11}}\right)\left(\frac{11!}{10!}\right)$$

Si su respuesta es correcta, podría alguien por favor que me explique por qué las minas es incorrecta? Me gustaría también muy agradecidos si usted podría explicar cómo obtener la respuesta correcta.

Answer 1

Como los dados son justos, es más fácil para confirmar su respuesta al acercarse al problema a través de conteo principios.

¿Cuántas secuencias de longitud 11 con entradas de ser números naturales del 1 al 6, ¿existen? Este será nuestro espacio muestral (todos base6 secuencias de longitud 11). Por principio, tenemos que hay $6^{11}$ dichas secuencias.

Cuántas de estas secuencias se tiene el producto de las entradas en la secuencia como un número primo. Como usted bien señala, esto sólo ocurre si todos, pero una de las entradas es un 1 y el no-una entrada es el primer (2,3 o 5). Establecer un principio el argumento de la siguiente manera:

• Seleccionar la ubicación de la no-un número (11 opciones)
• Elegir al primer utilizados para la no-un número (3 opciones)

Todos los demás espacios, entonces va a ser queridos. Como tal, hay 33 posibles secuencias.

Por definición de probabilidad en un equiprobables espacio muestral, la respuesta es, a continuación, $\frac{3\cdot 11}{6^{11}}$

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Su respuesta es equivalente: $~_{11}C_{10} \left(\frac{1}{6}\right)^{10}\left(\frac{5}{6}\right)^{1}\left(\frac{3}{5}\right)=11\cdot (\frac{1}{6^{10}})\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{5} = \frac{11\cdot 3}{6^{11}}$

Su respuesta en el otro lado, overcounts por un factor de 11. No puedo explicar de dónde su respuesta, pero tal vez se confundió y se multiplica por 11 para la ubicación de la no-uno dos veces (una vez en la fracción de la izquierda y una vez en la fracción de la derecha).