Error absoluto de la pérdida de una variable aleatoria gamma

Question

Deje $X \sim \operatorname{Gamma}(2,1)$, me gustaría minimizar con respecto a $a$ $$E|aX-1|=\int_0^{1/a}(1-ax)xe^{-x}dx+\int_{1/a}^\infty (ax-1)xe^{-x}dx$$

Hay una buena manera de hacer esto? La única forma que conozco es el uso de cálculos en la RHS para encontrar el mínimo con respecto a $a$. Por aseado, me refiero a una manera de que los hechos de la probabilidad o de la función gamma? Gracias.

Answer 1

Diferenciar $\mathrm E(\,\mid aX-1\mid\, )$ con respecto al $a$. El resultado es $$ E(X\,;\,aX>1)-E(X\,;\,aX<1)=E(X)-2E(X\,;\,aX<1). $$ Si $X$ es de Gamma$(2,1)$, esto es igual a cero cuando se $t=1/a$ soluciona $$ t^2+2t+2=\mathrm e^t, $$ es decir, para $a=0.374^-$.

Answer 2

(Esta no es una respuesta -ver Didier - en lugar de un comentario). Para $a>0$, $E( | a X - 1 | ) = a E( | X - a^{-1}| )$ así que el problema es equivalente a encontrar $b>0 $ ($b= 1/a$) que minimiza $$ g(b) = \frac{E(|X-b|)}{b} = \frac{h(b)}{b} $$

Todos sabemos de los "hechos de la probabilidad" de que la mediana de $X$ minimiza $h(b)$, pero esto no conduce a una solución de $g(b)$ (todo lo que podemos esperar es que el mínimo ocurre para algunos $b_0 > med(X) \approx 1.67$), pero esto no es muy útil (la mediana de una variable gamma no tiene una forma cerrada y el obligado no es firme)