Cuando se $HK \cong H \times K$?

Question

Supongamos $G$ es un grupo y $H$ $K$ son subgrupos tal que $G = HK$$H \cap K = \left\{e\right\}$, el elemento de identidad de $G$. Cuando podemos decir que el $HK \cong H\times K$?

He tratado de configurar el canónica mapa de $(h,k) \to hk$ y llegó a la conclusión de que este es un isomorfismo si y sólo si $H \subset C(K)$ o $K \subset C(H)$ donde $C$ denota el centralizador, ya que $ h_{1}k_{1}h_{2}k_{2} = h_{1}h_{2}k_{1}k_{2}$ y, por tanto, $hk = kh$ por cada $h \in H$, $k \in K$.

Hay una manera mejor de decir esto? ¿Cómo puedo obtener una caracterización de al $HK \cong H\times K$? Aquí he recogido un mapa (aunque canónica) y trabajó a cabo cuando sería un isomorfismo. Qué, si algunos de los mapas de otras obras?

Answer 1

Su condición de centralizadores es una buena. Sin embargo, la condición de que ambos $H$ $K$ son normales en $G$ también es equivalente a esta, y es la manera más fácil para resaltar un producto directo de la estructura.