Mostrar que f es medible

Question

Deje $U$ ser un Conjunto abierto de $\mathbb{R} \times [0,\infty]$ y sea f definida como

$$f: \mathbb{R}\mapsto [0,\infty], \quad f(x) := \max\{0,\sup\{y| (x,y) \in U\}\} $$

¿Cómo puedo demostrar que $f$ es medible?

Answer 1

Mediante la sustitución de $U$$U \cap [\Bbb{R} \times [0,\infty)]$, podemos suponer $U \subset \Bbb{R} \times [0,\infty)$ (esto no cambie $f$, debido a $U$ es abierto (por qué?)).

Ahora, el producto $\sigma$-álgebra en $\Bbb{R}^2$ de la Borel-$\sigma$-álgebra en $\Bbb{R}$ es sólo el Borel-$\sigma$-Álgebra en $\Bbb{R}^2$.

Esto implica, que el mapa de $x \mapsto \chi_U (x,y)$ es medible para cada $y \in \Bbb{R}$.

Ahora tenga en cuenta que

$$ f(x) = \sup_{y \in \Bbb{Q}} [y \cdot \chi_U (x,y)] $$

tiene (¿por qué? Este nuevo utiliza el hecho de que $U$ es abierto).

Ahora es un asunto fácil de demostrar que el supremum de una contables(!) la familia de funciones medibles es medible, lo que implica su reclamación.

Answer 2

Definir $g:\mathbb{R}\rightarrow\left[0,\infty\right]$ $x\mapsto\sup\left\{ y\mid\left(x,y\right)\in U\right\} $ y deje $c\in\mathbb R$ ser una constante.

Si $x\in\left\{ g>c\right\} $, a continuación, establezca $U$ contiene un elemento $\left(x,y\right)$ con $y>c$.

Encontrar algunos $\epsilon>0$ s.t. $y-\epsilon>c$ $\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)\times\left(y-\epsilon,y+\epsilon\right)$ es un subconjunto de a $U$.

Esto es posible debido a $U$ es abierto y lleva a: $\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)\subset\left\{ g>c\right\} $.

Demostrado es que el conjunto de $\left\{ g>c\right\} $ es abierto, por lo tanto Borel medible.

Esto es cierto para cualquier $c\in\mathbb{R}$ permitiendo a la conclusión de que $g$ es Borel medible.

A continuación, también se $f$ prescrito por $x\mapsto\max\left\{ 0,g\left(x\right)\right\} $ es Borel medible.