¿Qué significa que un número esté en un conjunto?

Question

Frustrantemente mi libro me da varios ejemplos de un número en un conjunto pero no ofrece ninguna explicación.

De todos modos, ¿qué está pasando aquí? Según el libro $2$ no es un elemento de estos conjuntos:

$$\{\{2\},\{\{2\}\}\}$$

$$\{\{2\},\{2,\{2\}\}\}$$

$$\{\{\{2\}\}\}$$

¿Qué está pasando? Claramente $2$ está en todos esos conjuntos. ¿O están diciendo que $2$ no está en ninguno de estos conjuntos pero un conjunto está en todos estos conjuntos y en ese conjunto está $2$ ? Lo que realmente parece una falacia lógica porque $2$ está en los conjuntos contenidos en un conjunto significa que el conjunto tiene $2$ incluso si está detrás de una capa de decorados.

Por ejemplo, no se diría que no hay coches en un barrio si todos los coches están en un garaje, así que ¿por qué las matemáticas adoptan este enfoque?

Answer 1

2 no es un elemento de estos conjuntos

el conjunto que contiene el elemento 2 es el elemento en 1 y 2

recuerda que debes tener un 2 independiente en los elementos para que el 2 forme parte del conjunto como elemento

Answer 2

Parte de la confusión proviene del uso de la preposición "en" para designar la pertenencia a un conjunto. En el uso cotidiano, "in" es una relación transitiva: Estoy en mi casa, que está situada en mi ciudad, así que estoy en mi ciudad. Sin embargo, los conjuntos son definido por lo que son sus miembros, y sería muy restrictivo considerar sólo conjuntos para que la pertenencia sea transitiva: siempre que $x$ es miembro de $y$ sería imposible construir un conjunto que tenga $y$ como miembro sin incluir también $x$ como miembro (así como los miembros que $x$ que pueda tener, etc.). Por lo tanto, siempre que $x\neq y$ las preguntas de si algún conjunto $~S$ tiene $x$ como miembro y si $S$ tiene $y$ como miembro son completamente independientes.

Existe una noción diferente, aunque relacionada, de que es transitivo: la relación de subconjunto (inclusión). Los números enteros incluyen los números pares, que incluyen el conjunto $\{4,144,1026\}$ por lo que ciertamente los enteros incluyen el conjunto $\{4,144,1026\}$ . Por definición $X$ incluye $Y$ es cada miembro de $Y$ también es miembro de $X$ . Confusamente, "contiene" puede referirse tanto a la pertenencia como a la inclusión, pero son relaciones muy diferentes; en la práctica, casi siempre está claro qué significado de "contiene" se quiere dar en cualquier situación concreta en la que se utilice.

De hecho, en la vida cotidiana la pertenencia no es una relación transitiva. El brazo izquierdo de mi hermana no es miembro de mi familia, aunque es miembro de un miembro de mi familia (disculpen el mal juego de palabras, pero no es tan fácil encontrar un ejemplo cotidiano de una colección de conjuntos; se podría pensar en algo como una asociación de equipos deportivos).

Answer 3

No le demos demasiadas vueltas a esto, a no ser que sean tus deberes de análisis real o complejo o algo así.

{2} != 2 al igual que A != B

Si dices que C contiene a A, eso no te deja decir que o bien contiene a B también, o a B solo.

Había otro ángulo que se me ocurrió.

Supongamos que el 2 hace referencia al final de un intervalo abierto, digamos de 0:2. Los intervalos abiertos no contienen sus puntos límite. Por lo tanto, ese intervalo contendría todas las fracciones hasta el 2, pero sin incluirlo.

Dudo que sea el caso. Por lo que preguntas, tienes una respuesta sencilla que dar. Evan lo ha dicho.

Answer 4

Así es como los programadores ven el problema: Bit y matriz de bits son dos cosas diferentes. Una matriz de bits no es lo mismo que un solo bit. No puedes asignar uno a otro, como no puedes asignar una cadena a un número:

int i2 = "abc" -- type check failure
char c = 'c' -- ok
string s = "abc" -- ok
string s2 = "c" -- ok
char c2 = "abc" -- type check failure
char c3 = "a" -- type check failure
string s3 = 'a' -- type check failure

Los dos últimos casos son su falacia.

Si me dices dónde se contempla este aspecto en la teoría de tipos, te lo agradeceré.

Answer 5

Por ejemplo, no se diría que no hay coches en un barrio si todos los coches están en un garaje, así que ¿por qué las matemáticas adoptan este enfoque?

Hay una diferencia entre un coche aparcado en la calle y un coche aparcado en un garaje. A menudo es útil poder distinguir la diferencia.

Para el tipo de cosas que usamos en los sets, nosotros casi siempre quiere ser capaz de distinguir la diferencia. Para las raras veces que no lo hacemos, hablamos del "cierre transitivo".

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Lo que tiene en mente es un partición de un conjunto, en lugar de un conjunto que contiene otros conjuntos. Una partición de un conjunto $X$ es una familia de subconjuntos $P_i \subseteq X$ como cada elemento de $X$ está exactamente en uno de los $P_i$ 's. Este es el tipo de cosas que tienes en mente: estás imaginando que cada garaje es uno de los grupos de la partición, que la calle es otro grupo, y así sucesivamente. Y cuando tomas sus unión , se obtiene "el conjunto de todos los coches del barrio".