¿Qué significa que un número esté en un conjunto?

Question

Frustrantemente mi libro me da varios ejemplos de un número en un conjunto pero no ofrece ninguna explicación.

De todos modos, ¿qué está pasando aquí? Según el libro $2$ no es un elemento de estos conjuntos:

$$\{\{2\},\{\{2\}\}\}$$

$$\{\{2\},\{2,\{2\}\}\}$$

$$\{\{\{2\}\}\}$$

¿Qué está pasando? Claramente $2$ está en todos esos conjuntos. ¿O están diciendo que $2$ no está en ninguno de estos conjuntos pero un conjunto está en todos estos conjuntos y en ese conjunto está $2$ ? Lo que realmente parece una falacia lógica porque $2$ está en los conjuntos contenidos en un conjunto significa que el conjunto tiene $2$ incluso si está detrás de una capa de decorados.

Por ejemplo, no se diría que no hay coches en un barrio si todos los coches están en un garaje, así que ¿por qué las matemáticas adoptan este enfoque?

Answer 1

Cuando decimos " $2$ está en un conjunto", queremos decir que $2$ es un elemento del conjunto. En el primer caso, hay exactamente dos elementos de $\{\{2\}, \{\{2\}\}\}$ , a saber

$$\{2\}$$ y $$\{\{2\}\}$$

En general, se puede encontrar el elementos de un conjunto dado borrando las llaves más externas.

Ninguno de ellos es el número $2$ el primero es un conjunto que contiene $2$ como elemento, y el otro es un conjunto que contiene el conjunto $\{2\}$ como elemento.

Si quisiéramos tener $2$ sea un elemento del conjunto, necesitaríamos $2 = \{2\}$ o $2 = \{\{2\}\}$ Ninguna de las dos cosas es cierta.

Answer 2

Aquí hay una explicación no matemática por si ayuda.

Piensa en un Muñeca rusa .

Hay dos formas de pensar en lo que hay dentro del muñeco exterior (más grande). Quizá la más obvia sea decir "todos los muñecos pequeños". Pero cuando un niño abre el primer muñeco, lo único que ve es el siguiente "hay otro muñeco dentro".

Cuando se trata de conjuntos, decimos $x\in X$ si vemos $x$ cuando quitamos la primera capa y miramos dentro. Puede que haya otras cosas que encontrar, pero están enterradas más profundamente, y sólo se pueden encontrar si se nos permite quitar más capas.

Answer 3

Es una cuestión interesante la que planteas.

En la práctica, nosotros (como matemáticos) nunca nos encontraríamos con este problema porque nunca mezclamos números y "conjuntos de números", o diferentes tipos en la misma colección (edición del comentario: la teoría de conjuntos hace esto, así que este comentario es sobre "niveles más altos" de abstracción en matemáticas que la teoría de conjuntos)

De todos modos, demostraríamos afirmaciones de la forma "Sea $\mathcal{S}$ sea una colección de conjuntos. Entonces para $S,T \in \mathcal{S}, \ldots$ ", etc. Como comprobación de cordura, se aseguraría de que $\mathcal{S}$ no contendría un solo número, por lo que matemáticamente no diríamos que $2 \in \mathcal{S}$ incluso si un conjunto de $\mathcal{S}$ contiene $2$ ¿verdad?

Incluso para desambiguar los "conjuntos de conjuntos" de los conjuntos, utilizamos el término "colección de conjuntos".

Dicho esto, este concepto es muy importante cuando se estudia informática, ya que es necesario mantener esas estructuras en orden, ya que se utilizan para organizar datos (listas de listas, etc.). Allí te puedes encontrar con la misma pregunta de "¿cómo se determina si $2$ está en mi estructura o no", pero esa es una cuestión totalmente diferente.

Answer 4

Puede ser una buena idea empezar con algo un poco más básico:

¿Cuál es la diferencia entre estas dos cosas? $\emptyset$ y $\{\emptyset\}$ .

El primero es sólo el conjunto vacío (que no tiene elementos)

El segundo es un conjunto con exactamente un elemento, que es el conjunto vacío.

Piénsalo un rato y te quedará más claro.

Answer 5

Se puede pensar en 'es un elemento de' como si se despojara de una sola capa de llaves de conjunto.

$2$ no es un elemento de $\{\{2\}\}$ porque al quitar una capa de tirantes, se obtiene $\{2\}$ el conjunto que contiene $2$ que es diferente de $2$ .

Además, si no fuera así, no habría forma de distinguir, por ejemplo, entre, $$\{\{2\}, \{2,3\}\} \text{ and } \{\{2,3\}\},$$

que son conjuntos claramente diferentes, aunque cada uno de sus elementos sólo contenga $2$ s y $3$ s.