Isomorfismo de$\mathbb{C}[G]$$\prod_{i=1}^h M_{n_i}(\mathbb{C})$.

Question

Lo que quiero preguntar es la prueba de la Proposición 10. en "Lineal Representaciones de Grupos Finitos" de Jean-Pierre Serre.

Deje $\rho_i : G \rightarrow GL(W_i)$ ser las distintas representaciones irreducibles de $G$.$(1 \le i \le h)$ Podemos extender $\rho_i$$\widetilde{\rho_i} : \mathbb{C}[G] \rightarrow \text{End}(W_i)$$\widetilde{\rho_i}(\sum_{g \in G} a_g g) = a_g \sum_{g \in G} \rho_i(g)$.

A continuación, $\widetilde{\rho} = (\widetilde{\rho_i}) : \mathbb{C}[G] \rightarrow \prod_{i=1}^{h} \text{End}(W_i) \cong \prod_{i=1}^h M_{n_i}(\mathbb{C})$ es un homomorphism.

A continuación, la Proposición 10, dice que es un isomorfismo. Dado que las dimensiones de dominio y codominio son iguales, esto es suficiente para mostrar que $\widetilde{\rho}$ es surjective.

En la prueba de el libro,

Si $\widetilde{\rho}$ no es surjective, entonces existe un valor distinto de cero forma lineal en $\prod M_{n_i}(\mathbb{C})$ fuga en la imagen de $\widetilde{\rho}$. Esto da una relación no trivial en los coeficientes de las representaciones de $\rho_i$ lo cual es imposible debido a la ortogonalidad de las fórmulas de 2.2.

Pero no puedo siga las anteriores tres líneas en la prueba. Voy a apreciar si le das una explicación de la prueba.

Gracias.

Answer 1

Dado cualquier subespacio $U\subset V$ y cualquier $v\in V$, existe una función lineal $\phi:V\to\Bbb C$ que satisface $\phi(u)=0$ todos los $u\in U$$\phi(v)\ne0$. Para ver esto, escoja una base para $U$, se acuestan $v$ a y se extienden a una base para todos los de $V$, luego de considerar las coordenadas de proyección asociados a $v$.

Otro dato a saber: Dado un vector de coordenadas del espacio de $V$, cualquier lineal mapa de $V\to\Bbb C$ es una combinación lineal de las coordenadas de la proyección de los mapas.

Considere la posibilidad de $\Bbb C[G]\to\prod M_{n_i}(\Bbb C)$. Supongamos que la imagen es correcta, de modo que existe un trivial lineal funcional en el último espacio que se desvanece en la imagen. Como el funcional es lineal, que debe ser alguna combinación lineal de las coordenadas de todas las matrices. Por lo tanto,

$$\sum_{i,j,k} a_{ijk}(\rho_i(g))_{jk}=0 \tag{$\circ$}$$

para todos los $g\in G$ donde $(\rho_i(g))_{jk}$ $j,k$ matriz de coeficiente de $\rho_i(g)$ $a_{ijk}$ son los coeficientes presentes en el lineal funcional. Pero si $(\circ)$ es cierto para todos los $g$, entonces es cierto cuando se $(\circ)$ se entiende como una combinación lineal de funciones de $G\to\Bbb C$, o en otras palabras, la matriz de los coeficientes son linealmente dependiente de funciones, ya que satisfacen la relación de dependencia $(\circ)$. Pero esto es imposible.

Si usted está interesado en otra prueba, he escrito por aquí, que creo que es hábil, y no hacer referencia a la matriz de coeficientes. (Es un "resumen tonterías" la prueba que aprovecha la representabilidad de la fibra functor, sofá de la primaria de la prueba en una más profunda del lenguaje.) Utiliza el teorema de Maschke que el complejo de representaciones de grupos finitos son semisimple, y Schur del lema para calcular las dimensiones de intertwiners. También explica Schur la ortogonalidad de las relaciones de los personajes.