¿Determinante y rastro como conjugaciones?

Question

Para las matrices reales $A$ sostiene que $$\det\,\big(e^A\big)=e^{\mathrm{tr}\,A}$$ por lo que podemos escribir $$\mathrm{tr}=(\exp)^{-1}\circ \;\det\;\circ\;(\exp).$$ ¿Esta interpretación de la traza como el "conjugado" del determinante bajo el mapa exponencial se utiliza en algún sitio, o es útil para algo? Parece interesante, pero no me he topado con ella antes.

Editar: nota que el $(\exp)$ en el a la izquierda (del que se toma la inversa) es el logaritmo natural $\ln$ para números reales, no para matrices (¡creo!) porque se aplica después de encontrar el determinante.

Answer 1

En la teoría de los grupos de Lie matriciales, el mapa exponencial representa el paso del álgebra de Lie a su grupo de Lie. El álgebra de Lie "linealiza" el grupo en la vecindad de la matriz identidad $I$ (en términos técnicos es el espacio tangente a $I$ ). El grupo lineal especial $SL(V)$ en un espacio vectorial $V$ consiste en matrices con determinante $1$ , ese determinante es conjugado a la traza implica inmediatamente que el álgebra de Lie correspondiente $\mathfrak{sl}(V)$ consiste en matrices de traza $0$ . Obsérvese también que para las matrices no conmutativas $e^{A+B}\neq e^Ae^B$ Sin embargo, todavía tenemos $\det e^{A+B}=\det e^A\,\det e^B$ debido a la conjugación con la traza.

Existe otro tipo de mapa exponencial en la geometría de Riemann relacionado con las geodésicas. Aunque las cosas son mucho más complicadas que con las matrices, conceptualmente el determinante corresponde al volumen, y existen fórmulas límite que expresan la desviación local del volumen euclidiano en términos de curvaturas Ricci y escalares, que son "trazas" de la curvatura riemanniana.

Answer 2

Es absolutamente útil en el estudio de Grupos de Lie donde el mapa exponencial nos lleva de un álgebra de Lie al grupo de Lie correspondiente, lo que permite el estudio de estos grupos "a nivel de álgebra".

No estoy seguro de que su propiedad particular termine siendo útil, pero uno ciertamente utiliza el hecho de que los valores propios son mapeados como $\lambda \mapsto e^{\lambda}$ .