Falso homeomorfismo entre $R$ y $R^2"

Question

Asistí a una conferencia hoy en la que nos dieron la prueba de la no existencia de homeomorfismos entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$. Se me ocurrió la siguiente función biyectiva entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$ pero no pude probar por qué esta no califica como un homeomorfismo válido.

Mapeo $(x,y) \rightarrow (\frac 1 \pi (\tan ^{-1} x + \pi/2), \frac 1 \pi (\tan ^{-1} y + \pi/2))$. Este mapeo es continuo, biyectivo y mapea $\mathbb R^2$ al cuadrado unitario.

Ahora, para cada par $(x,y)$ con $x = 0.a_1a_2 \cdots, y = 0.b_1b_2 \cdots$ siendo sus expansiones decimales, define $$f(x,y) = 0.a_1b_1a_2b_2 \cdots$$ $f(x,y)$ es una función continua y biyectiva entre el cuadrado unitario y el intervalo $(0,1)$

Ahora, simplemente mapea $x \rightarrow \tan (\pi x - \pi/2)$ para obtener una función continua y biyectiva entre $(0,1)$ y $\mathbb R$.

¿Por qué la composición de estas funciones no es un homeomorfismo entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$?

Answer 1

Su función intermedia no es continua. Sea $x_0=0.1$, $y_n=0.4\overbrace{9\cdots9}^{n\text{ veces }}0\cdots$. Entonces $(x_0,y_n)\to(0.1, 0.5)$. Tenemos $$ f(0.1,0.5)=0.15,\ \ f(0.1,y_n)=0.14090909\cdots $$ Por lo tanto, $$ |f(0.1,0.5)-f(0.1,y_n)|>0.009 $$ para todo $n$.

Como comentario general, cada vez que su prueba incluya una "parte de la mano que agita", debería sospechar de esa parte. Mucho. (dicho desde una amplia experiencia propia)

Answer 2

Su función $f$ no es continua. Si lo fuera, entonces fijar $y$ en algún valor arbitrario daría como resultado una función estrictamente creciente y continua de $x$ desde el intervalo unitario hacia sí misma, cuya imagen tendría que ser un intervalo; sin embargo, esto no puede ser cierto dado que la mitad de los lugares decimales tienen dígitos invariables en toda la imagen del mapa (esta restricción de $f$ viola muy severamente el teorema del valor intermedio). De hecho, puedes comprobar que $f$ es discontinua en cualquier punto en el que al menos una de sus dos coordenadas tiene una representación decimal finita. Para tales coordenadas, debes elegir una de las dos representaciones decimales posibles para trabajar en la definición de $f$; suponiendo que eliges la finita (en lugar de la que termina con todos los dígitos $9$), obtendrás un salto discontinuo cuando disminuyas esa coordenada.

También puedes notar que tu función $f$ tampoco es sobreyectiva, por prácticamente la misma razón (por ejemplo, $0.3919491959992969593959\ldots$ no está en la imagen). Como consuelo, sucede que es continua casi en todas partes.

Puedo agregar que la consideración del teorema del valor intermedio muestra que para un mapa $f:\mathbf R^2\to\mathbf R$ (o $(0,1)^2\to(0,1)$), incluso el requisito más débil de ser tanto continuo como inyectivo no puede ser cumplido. Basta con considerar dos puntos distintos $p_0,p_1\in\mathbf R^2$, donde podemos asumir que $f(p_0)

Answer 3

Ten en cuenta que $0.4\bar{9}=.5$, pero $$f(0.4\bar{9},0.4\bar{9})=0.44\bar{9}=0.45\neq 0.55=f(0.5,0.5),$$ así que necesitas ser un poco más cauteloso con tu intercalación para obtener una función. Incluso si das una convención para elegir la expansión decimal, esta función aún no será continua. Fija uno de los argumentos y juega con él para ver por qué.