Desigualdad de triángulo hiperbólico distancia

Question

Una forma rápida de definir la métrica hiperbólica en el disco de Poincaré es a través de la cruz de relación: Dados los puntos a,b en el disco, sean p,q ser los extremos de la línea hiperbólica (halfcircle/línea perpendicular al círculo) a través de a y b. A continuación, la métrica hiperbólica está dada por

d(a,b) = log [a:b:p:p].

(Dependiendo de la definición precisa de la cruz proporción, el orden de las cuatro entradas pueden variar.)

Este definiciones tiene muchas ventajas, por ejemplo, es fácil mostrar que la métrica es invariante bajo las transformaciones de Möbius preservar el círculo y que el correspondiente geodesics son precisamente las líneas hiperbólicas. Sin embargo, la desventaja es que parece ser que el triángulo de la desigualdad no es bastante obvio.

¿Alguien sabe una forma rápida y elegante de la prueba de la desigualdad de triángulo para la definición de la métrica hiperbólica?

Answer 1

Yo sugeriría hacer este cálculo en el Klein modelo, en lugar de la de Poincaré modelo. Ya que no hay una equivalencia entre ellos por una proyección adecuada de envío de las líneas de los círculos, y la preservación de la cruz-las proporciones, el cálculo debe ser equivalente.

La métrica hiperbólica en el Klein modelo es el de Hilbert métrica. Una buena exposición de la desigualdad de triángulo de Hilbert métrica es dada en la Sección 2 de un papel de McMullen.