Mostrar que esta suma es un número entero.

Question

Tengo que demostrar que

$$g\left(\frac{1}{2015}\right) + g\left(\frac{2}{2015}\right) +\cdots + g\left(\frac{2014}{2015}\right) $$ es un número entero. Aquí $g(t)=\dfrac{3^t}{3^t+3^{1/2}}$.

Traté de resolverlo utilizando el poder de la serie, pero no puedo terminar con cualquier convincente el argumento que dice que la suma es un número entero. (También el uso de un ordenador no está permitido.)

Answer 1

Quiero $\sum_{k=1}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right) $ donde $n$ es impar y $g(t)=\dfrac{3^t}{3^t+3^{1/2}} $.

$g(k/n) =\dfrac{3^{k/n}}{3^{k/n}+3^{1/2}} $.

$\begin{array}\\ g(k/n)+g((n-k)/n) &=\dfrac{3^{k/n}}{3^{k/n}+3^{1/2}}+\dfrac{3^{(n-k)/n}}{3^{(n-k)/n}+3^{1/2}}\\ &=\dfrac{3^{k/n}(3^{(n-k)/n}+3^{1/2})+3^{(n-k)/n}(3^{k/n}+3^{1/2})}{(3^{k/n}+3^{1/2})(3^{(n-k)/n}+3^{1/2})}\\ &=\dfrac{(3+3^{(k/n)+(1/2)})+(3+3^{(n-k)/n+(1/2)})}{3+3^{1/2}(3^{k/n}+3^{(n-k)/n})+3}\\ &=\dfrac{6+3^{1/2}(3^{k/n}+3^{(n-k)/n})}{6+3^{1/2}(3^{k/n}+3^{(n-k)/n})}\\ &= 1\\ \end{array} $

Wow! Fue completamente inesperado.

Ya que la suma de vinculado términos es uno, si $n$ es impar, y hay $\frac{n-1}{2}$ los pares de la suma es $\frac{n-1}{2}$.

Parece cualquier número puede ser sustituido por $3$ y esto va a funcionar.

Answer 2

Esta es la respuesta a la primera versión de la pregunta:

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Queremos calcular:

$$ \sum_{k=1}^{2014}\frac{\frac{3k}{2015}}{\frac{3k}{2015}+\frac{7}{2}}=\sum_{k=1}^{2014}\frac{6k}{6k+5\cdot 7\cdot 13\cdot 31} $$ pero ese número puede ser un número entero porque $6\cdot 2001+5\cdot 7\cdot 13\cdot 31$ es un primo.

De todos modos, el valor de la LHS es acerca de $2015\int_{0}^{1}\frac{3x}{3x+\frac{7}{2}}\,dx = 2015\left(1-\frac{7}{6}\log\frac{13}{7}\right)$.

También podemos estimar la diferencia entre la suma y la $2015\left(1-\frac{7}{6}\log\frac{13}{7}\right)$ a través de la Hermite-Hadamard la desigualdad, ya que $\frac{3x}{3x+\frac{7}{2}}$ es una función cóncava en $[0,1]$. Que le da otra forma de demostrar que nuestra suma no es un número entero, ya que esto da que nuestra suma es entre el$559.4$$559.8$.

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Esta es la respuesta a la segunda versión de la pregunta. Si $$ g(t) = \frac{3^t}{3^t+3^{1/2}} $$ tenemos: $$ g(t)+g(1-t) = \frac{3^t}{3^t+3^{1/2}}+\frac{3^{1-t}}{3^{1-t}+3^{1/2}}=\frac{1}{1+3^{1/2-t}}+\frac{1}{1+3^{t-1/2}}=\color{red}{1}$$ por lo tanto la demanda es trivial.

Answer 3

Por un rígido traducción se puede ver que $g$ es una función impar alrededor del punto de $(\frac 1 2, \frac 1 2)$:

$$ \begin{align} f(x) &= g(x+\frac 1 2) - \frac 1 2 \\ &= \frac{3^{x + 1/2}}{3^{x + 1/2} + 3^{1/2}} - \frac 1 2 \\ &= \frac{3^x 3^{1/2}}{3^x 3^{1/2} + 3^{1/2}} - \frac 1 2 \\ &= \frac{3^x 3^{1/2}}{(3^x+1) 3^{1/2}} - \frac 1 2 \\ &= \frac{3^x}{3^x+1} - \frac 1 2 \\ &= \frac{2(3^x)-(3^x+1)}{2(3^x+1)} \\ &= \frac{1}{2}\frac{3^x-1}{3^x+1} \\ &= \frac{1}{2}\frac{e^{x\log(3)}-1}{e^{x\log(3)}+1} \\ &= c_1 \tanh(c_2x) \ \ \text{ with %#%#% and %#%#% } \end{align} $$

La última fórmula es la tangente hiperbólica de un múltiplo de $c_1 = \frac 1 2$, por lo que es simétrica con respecto al origen. De esto se sigue que el $c_2 = \log(3)$, que, después de la transformación, significa $x$.

A partir de esta afirmación de la siguiente manera.

Answer 4

$$\begin{align} &g(t)=\frac {3^t}{3^t+3^{\frac 12}}=\frac {3^{t-\frac12}}{3^{t-\frac 12}+1}\\ \Rightarrow \qquad &g\left(\frac12+u\right)+g\left(\frac12-u\right)=\frac {3^u}{3^u+1}+\frac {3^{-u}}{3^{-u}+1}=\frac {3^u}{3^u+1}+\frac {1}{1+3^u}=1\\\\ \sum_{r=1}^{2014}g\left(\frac r{2015}\right) &=\sum_{r=1}^{1007}g\left(\frac r{2015}\right)+\sum_{r=1008}^{2014}g\left(\frac r{2015}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{1007}g\left(\frac{1007\frac12-(i-\frac12)}{2015}\right)+g\left(\frac{1007\frac12+(i-\frac12)}{2015}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{1007}g\left(\frac12-\frac{i-\frac12}{2015}\right)+g\left(\frac12+\frac{i-\frac12}{2015}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{1007}1\\ &=1007\qquad\blacksquare\end{align}$$

Answer 5

Observe que $g (x) = g (1 - x)$. De hecho

$$g(x)+g(1-x) = \frac {1} {1 + 3^{1/2-x}} + \frac {1} {1+3^{x-1/2}} = 1$$.

Entonces llegamos a la conclusión por

$$\sum_{k = 1}^{2014} g\left(\frac{k}{2015}\right) = \sum_{k = 1}^{1007} \left ( g\left(\frac{k}{2015} \right ) + g\left(\frac{2015 - k}{2015} \right ) \right ) = 1007.$$