Rudin Serie de cociente y de la raíz de la prueba.

Question

En Rudins Principios de Análisis Matemático dice: considere la siguiente serie

$$\frac 12 + \frac 13 + \frac 1{2^2} + \frac 1{3^2} + \frac 1{2^3} + \frac 1{3^3} + \frac 1{2^4} + \frac 1{3^4} + \cdots$$

para que

$$\liminf \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \left( \dfrac {2}{3} \right)^n =0, $$

$$\liminf \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\dfrac{1}{3^n}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, $$

$$\limsup \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[2n]{\dfrac{1}{2^n}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, $$

$$\limsup \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \dfrac 12\left( \dfrac {3}{2} \right)^n =+\infty, $$

La raíz de la prueba indica que la convergencia; la relación de la prueba no se aplica.

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En el libro se define la raíz de proporciones y la prueba para la lim sup. No estoy exactamente seguro de cómo él va de la lim sup lim y también por qué hay un $2n$ (que supongo viene de incluso los términos de la secuencia) en la raíz de la prueba. También, ¿por qué es la comprobación de la lim inf? Creo que mi comprensión de lim sup e inf no están bien desarrollados o, probablemente voy a entender lo que está pasando.

Además, ¿cómo se consigue los términos que él está tomando el límite de. Un empujón en la dirección correcta para resolver esto sería muy apreciada. Gracias!!

Answer 1

Por definición, llame a los términos de nuestra secuencia $a_1,a_2,a_3,\dots$. Un análisis similar con pequeñas diferencias de detalle puede ser hecho si el primer término de nuestra secuencia $a_0$.

Tenga en cuenta que para $n=1,2,3,\dots$ tenemos $a_{2n-1}=\dfrac{1}{2^n}$$a_{2n}=\dfrac{1}{3^n}$.

El $k$-ésima raíz de la $k$-ésimo término es "pequeño" cuando el $k$-ésimo término es una potencia de $\dfrac{1}{3}$. El $k$-ésima raíz de la $k$-ésimo término es "grande" cuando el $k$-ésimo término es una potencia de $\dfrac{1}{3}$.

Más precisamente, $\liminf \sqrt[k]{a_k}=\lim\inf \sqrt[2n]{\frac{1}{3^n}}=\dfrac{1}{3}$. Incluso para $k$ $k$- ésima raíz es constante.

También, $\limsup\sqrt[k]{a_k}=\liminf\sqrt[2n-1]{\dfrac{1}{2^n}}$. Pero $$\sqrt[2n-1]{\dfrac{1}{2^n}}=\left(\frac{1}{2^n}\right)^{1/(2n-1)}=\left(\frac{1}{2^n}\right)^{2n/(2n(2n-1))}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n/(2n-1)}.$$ La expresión de la derecha tiene límite de $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Que se ocupa de una de las lagunas.

Para la Prueba de razón, estamos interesados en el comportamiento de $\left|\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right|$.

Deje $k$ ser impar, decir $k=2n-1$. A continuación,$a_k=\dfrac{1}{2^n}$. Y $a_{k+1}=a_{2n}=\dfrac{1}{3^n}$. De ello se sigue que $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}=\left(\frac{2}{3}\right)^n.$$ Este tiene muy agradables comportamiento para un gran $n$, de ninguna de las $n$: es de forma segura en $1$, de hecho tiene un límite de $0$.

Ahora vamos a $k$ ser incluso, decir $k=2n$. A continuación,$a_k=\dfrac{1}{2^n}$. y $k+1=2n+1$. El $2n+1$-ésimo término de nuestra secuencia es $\dfrac{1}{2^{n+1}}$. De ello se desprende que en el caso de $k=2n$ hemos $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{3^n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n.$$

Por desgracia, este se comporta mal para un gran $n$: nos gustaría que fuera de forma segura en $1$, y es mucho más.

El límite de los cocientes $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ no existe. Las proporciones no (uniformemente) blow up, ya que para $k$ impares, los ratios de enfoque de $0$. La relación se comporta muy bien en el extraño $k$, y muy mal en incluso $k$. Así pues, el Coeficiente de la Prueba no es concluyente. El mal comportamiento que nos impide concluir la convergencia. Pero el buen comportamiento nos impide concluir divergencia.