En Dummit y Foote del Álgebra Abstracta, los dos primeros reclamos de la Proposición 0.1 estado que:
Deje $f: A \rightarrow B$.
Si $A \neq \emptyset$, el mapa de $f$ es inyectiva si y sólo si $f$ ha dejado inversa.
El mapa de $f$ es surjective si y sólo si $f$ tiene un derecho inversa.
Para $(1)$ si $f$ es inyectiva, entonces podemos construir una función $g: B \rightarrow A$ tal que $\forall f(a) = b \in B$, tenemos la "inversa" de asignación de
$$g(b) = a$$
y apelando a la inyectividad de $f$, se deduce que la composición de mapa de $g \circ f$ es, de hecho, el mapa de identidad, por lo $f$ ha dejado inversa. Por el contrario, si suponemos que el $f$ ha dejado inversa, entonces podemos considerar $a_1, a_2 \in A$ tal que $a_1 = a_2$. Desde $f$ ha dejado inversa, podemos escribir $g(f(a_1)) = a_1$$g(f(a_2))=a_2 \implies g(f(a_1)) = g(f(a_2)) \implies f(a_1) = f(a_2)$, debido al hecho de que $g$ es una función.
En el caso de $(2)$, suponemos que a $f$ es surjective y construir una función $h: B \rightarrow A$ tal que
$$h(b) \in \{a \in A : f(a) = b \}$$
es decir, teniendo en cuenta la reserva de la asignación de las clases donde $h(b)$ puede ser cualquier valor de $a$ donde $f$ mapas de $a$$b$. Por lo tanto $f$ tiene un derecho inversa. En la otra dirección, es fácil mostrar que la existencia de un derecho inversa garantiza que $\forall b \in B$, $\exists a \in A$ tal que $f(a) = b$, es decir, $a = h(b)$, la satisfacción de la definición de surjectivity.
Mi principal preocupación está relacionada con la construcción de la relación $h$. Por el conjunto teórico de la definición de una función, se debe tener que no hay dos pares ordenados de la relación $h$ tienen el mismo primer elemento, pero la sola idea de tener múltiples valores parece contradecir la definición. En otras palabras, estoy intuitivamente el pensamiento de inyectividad para la información de la preservación de la propiedad, de modo que uno puede tener una correlación inversa sin ningún tipo de ambigüedades, pero surjectivity es una propiedad que se traduce en información de la pérdida de múltiples elementos en $A$ mapa a $b \in B$, y no hay bien definida mapa de nuevo a la original $a$$b$. Me gustaría comprobar si mi razonamiento anterior es correcto, y por extensión, si las pruebas son lo suficientemente rigurosos como en su forma actual.
