Demostrar la divergencia de una sucesión demostrando que la sucesión es creciente.

Question

Definimos una secuencia recursivamente por $$a_{n+1}=\frac{1}{4}({a_n}^2+a_n+2)~~~(a_1=3)$$

Mostrando $a_n$ es creciente demuestre que $a_n$ no converge.

No estoy seguro de cómo hacerlo. He intentado mostrar que $a_{n+1}-a_n>0$ pero no podía conseguir que funcione también no estoy seguro de cómo esto podría ser utilizado para implicar que no converge. (Aunque creo que sólo se puede afirmar que es ilimitada por lo que con el tiempo será más grande que cualquier límite que se pueda imaginar)

Gracias

Answer 1

Reescribir $a_{n+1}=\frac{1}{4}[a_n(a_n+1)]+\frac12$ demostrar por inducción que $a_n+1\ge4$ y $a_{n+1}>a_n\ge3$ .
(No olvide utilizar ese $a_1=3$ ya que de lo contrario la prueba no funcionará).

Una vez hecho esto, si la secuencia era convergente entonces ambos $a_n$ y $a_{n+1}$ convergerían al mismo límite $L>3$ . Usted obtendría $L=\frac{1}{4}(L^2+L+2)$ . Resuelve esta ecuación cuadrática para $L$ y calcular que las raíces son demasiado pequeñas para ser un límite de números mayores que $3$ .

Alternativamente, no te molestes con la ecuación cuadrática sobre $L$ pero demuestre por inducción que $a_n+1\ge4$ , $a_{n+1}>a_n\ge3$ y $a_{n+1}\ge a_n+\frac12$ . Entonces $a_{n+1} - a_n\ge \frac12$ para todos $n$ lo que implica, en particular, que la secuencia $a_n$ no es Cauchy, y es imposible que converja. También muestra directamente que $a_n\to\infty$ Eso es, $a_n$ diverge hasta el infinito (lo que también podrías haber concluido, indirectamente, usando esa $a_n$ es creciente pero no tiene límite, después de encontrar las posibles raíces de $L$ ).

Answer 2

$\begin{array}\\ a_{n+1} &=\frac{1}{4}({a_n}^2+a_n+2)\\ &=\frac{1}{16}(4{a_n}^2+4a_n+8)\\ &=\frac{1}{16}(4{a_n}^2+4a_n+1+7)\\ &=\frac{1}{16}((2{a_n}+1)^2+7)\\ \end{array} $

Por lo tanto $2a_{n+1}+1 =\frac{1}{8}((2{a_n}+1)^2+7)+1 =\frac{1}{8}((2{a_n}+1)^2+15) $ .

Dejar $b_n =2a_n+1 $ , $b_{n+1} =\frac{1}{8}(b_n^2+15) $ .

Desde $b_1 =2a_1+1 =7 $ , $b_2 =\frac{49+15}{8} =8 $ , $b_3 =\frac{64+15}{8} =\frac{79}{8} > 9 $ .

Si $b_n \ge 8+k $ donde $k \ge 1$ (lo que es cierto para $n=3$ ), entonces $b_{n+1} =\frac{1}{8}(b_n(8+k)+15) =\frac{1}{8}(8 b_n+kb_n+15) =b_n+\frac{1}{8}(kb_n+15) =b_n+\frac{1}{8}(k(8+k)+15) $ así que $b_{n+1}-b_n =\frac{1}{8}(k(8+k)+15) = k+\frac{1}{8}(k^2+15) \ge k+2 $ .

Por lo tanto $b_n$ es ilimitado y estrictamente creciente y también lo es $a_n$ .