Un ejemplo de anillo finitamente cogenerado que tiene infinitos ideales máximos

Question

Un anillo unital conmutativo $R$ se llama finitamente cogenerado si una intersección de ideales de $R$ es cero, entonces una intersección finita de ellas también es cero. Estoy buscando un anillo unital conmutativo finitamente cogenerado $R$ con infinitos ideales máximos.

Answer 1

Tome $R=\mathbb Z\oplus \mathbb Z_{p^{\infty}}$ . Esto significa: (1) Empezar con el grupo Prufer $\mathbb Z_{p^{\infty}}$ para algún primo $p$ y convertirlo en un anillo no unitario conmutativo dotándolo de multiplicación por cero. (2) Adjuntar formalmente un elemento unitario tomando la suma directa $\mathbb Z\oplus \mathbb Z_{p^{\infty}}$ de grupos aditivos y definiendo la multiplicación por $(a,u)\cdot(b,v) = (ab,av+bu)$ .

Ciertamente $R$ es un anillo conmutativo con la unidad $(1,0)$ . Además, la función $(a,u)\mapsto a$ es un homomorfismo de $R$ en $\mathbb Z$ . Como esta última tiene infinitos ideales máximos, la primera también debe tener infinitos. Para terminar de demostrar que $R$ satisface todas las condiciones basta con explicar por qué lo siguiente es cierto:

Reclamación. Si $\{I_k\;|\;k\in K\}$ es un conjunto de ideales y $\bigcap_{k\in K} I_k$ es cero, entonces uno de los ideales $I_k$ ya es cero.

Prueba de reclamación. (Contrapositivo)

Tenga en cuenta que $N = \{0\}\oplus \mathbb Z_{p^{\infty}}$ es un ideal cuyo cuadrado es cero, y sus subideales son exactamente los de la forma $\{0\}\oplus H$ donde $H$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb Z_{p^{\infty}}$ .

Permítanme argumentar que si $I$ es un ideal no nulo de $R$ entonces $I\cap N$ también es distinto de cero, por lo que $I\cap N = \{0\}\oplus H$ para algún subgrupo no nulo $H\leq \mathbb Z_{p^{\infty}}$ . Para ello, supongamos que $(a,u)\in I-\{(0,0)\}$ . Si $a=0$ entonces $(0,0)\neq (a,u)=(0,u)\in I\cap N$ y hemos terminado en este caso. En el caso alternativo en el que $a\neq 0$ Hay un poco de $v\in\mathbb Z_{p^{\infty}}$ tal que $av\neq 0$ Por lo tanto $(0,0)\neq (0,av)=(a,u)\cdot (0,v)\in I\cap N$ . Nuestra afirmación queda establecida.

Ahora, $\mathbb Z_{p^{\infty}}$ es un grupo abeliano subdirectamente irreducible, por lo que tiene un subgrupo mínimo no nulo $H$ y por el resultado del párrafo anterior $\{0\}\oplus H$ está contenido en todo ideal no nulo de $R$ . Por lo tanto, si todos los $I_k, k\in K$ son distintos de cero, entonces $\bigcap_{k\in K} I_k\neq 0$ . \\\