Área de un cuadrado inscrito en un círculo

Question

ABCD es un cuadrado inscrito en un círculo cuyo diámetro es de L cm. Si P y Q son de mediados de los puntos de BC y CD, respectivamente, hallar el área sombreada MDCNT

Gracias

He intentado esto

Si supiera el valor de M pude resolver

Answer 1

La región sombreada es la unión de dos triángulos que se superponen, de manera que el área es la suma de las áreas de la CND y DQM, menos el área de DQT. Todos los tres de estos triángulos mentira en el segmento CD, el cual tomaremos como base. Estos tres triángulos tienen base longitudes de $L/\sqrt{2}$, $L/2\sqrt 2$, y $L/2\sqrt 2$, respectivamente, por lo que sólo necesitamos sus alturas (ancho horizontal, en la imagen).

Por semejanza de triángulos, área de DQM es el mismo que el son de la CPN, por lo que la suma de las áreas de la CND y DQM es el área de la CPD, que es $\frac{1}{2}L/\sqrt{2} \times L/2\sqrt 2 = L^2/8$.

Observe que DQT es un triángulo rectángulo desde ADQ es girar 90 grados de DCP, para lo cual es congruente. La relación de la longitud de la TQ de la TD es $\frac{1}{2}$ (a partir de P es el punto medio de BC). Deje $\theta = \angle TDQ$, entonces el área es $\frac{1}{2}QD^2 \sin\theta \cos\theta$$\tan\theta = \frac{1}{2}$. Esto le da a $\sin\theta\cos\theta = \frac{2}{5}$, así que el área de DQT es $\frac{1}{5}L^2/8$

Por lo tanto el área de la parte sombreada es $\frac{4}{5}L^2/8 = L^2/10$.