¿Cuál es la diferencia entre un anillo y un campo?

Question

Los axiomas del anillo exigen que la suma sea conmutativa, que la suma y la multiplicación sean asociativas y que la multiplicación se distribuya sobre la suma.

Se puede pensar en un campo como dos grupos con ley de distributividad adicional.

Un anillo es más complejo: con grupo abeliano y un semigrupo con ley de distributividad extra.

¿Es un anillo una estructura más básica que un campo, o viceversa? ¿Cuál es la relación entre ellos? ¿Cuál es el trasfondo por el que se estudian?

Answer 1

Un anillo es un triple ordenado, $(R,+,\times)$ , donde $R$ es un conjunto, $+\colon R\times R\to R$ y $\times\colon R\times R\to R$ son operaciones binarias (normalmente escritas en notación in-fix) tales que:

1. $+$ es asociativo.
2. Existe $0\in R$ tal que $0+a=a+0=a$ para todos $a\in R$ .
3. Por cada $a\in R$ existe $b\in R$ tal que $a+b=b+a=0$ .
4. $+$ es conmutativo.
5. $\times$ es asociativo.
6. $\times$ distribuye sobre $+$ a la izquierda: para todos $a,b,c\in R$ , $a\times(b+c) = (a\times b)+(a\times c)$ .
7. $\times$ distribuye sobre $+$ a la derecha: para todos $a,b,c\in R$ , $(b+c)\times a = (b\times a)+(c\times a)$ .

1-4 nos dicen que $(R,+)$ es un grupo abeliano. 5 nos dice que $(R,\times)$ es un semigrupo. 6 y 7 son las dos leyes distributivas que mencionas.

También tenemos los siguientes artículos:

a. Existe $1\in R$ tal que $1\times a = a\times 1 = a$ para todos $a\in R$ .

b. $1\neq 0$ .

c. Para cada $a\in R$ , $a\neq 0$ existe $b\in R$ tal que $a\times b = b\times a = 1$ .

d. $\times$ es conmutativo.

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a) se dice que es un "anillo con unidad". Claramente, todo anillo con unidad es también un anillo; se necesita "más" para ser un anillo con unidad que para ser un anillo.

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a,b,c) se dice que es un anillo de división . De nuevo, todo anillo de división es un anillo, y se necesita "más" para ser un anillo de división que para ser un anillo. (5)+(a)+(b)+(c) nos dicen que $(R-\{0\},\times)$ es un grupo (nótese que tenemos que eliminar $0$ porque (c) especifica que es distinto de cero, y necesitamos (b) para asegurarnos de que nos queda algo ).

Un anillo que satisface (1)-(7)+(a,b,c,d) es un campo. De nuevo, todo campo es un anillo.

En efecto, tenemos esa $(R,+)$ es un grupo abeliano, que $(R-\{0\},\times)$ es un grupo abeliano, y que estas estructuras se "engranan" mediante (6) y (7). En un anillo, tenemos que $(R,+)$ es un grupo abeliano, que $(R,\times)$ es un semigrupo (o mejor aún, un semigrupo con $0$ ), y que las dos estructuras "encajan bien".

Tenemos que todo campo es un anillo de división, pero hay anillos de división que no son campos (por ejemplo, los cuaterniones); todo anillo de división es un anillo con unidad, pero hay anillos con unidad que no son anillos de división (por ejemplo, los enteros si se quiere la conmutatividad, los $n\times n$ matrices con coeficientes en, digamos, $\mathbb{R}$ , $n\gt 1$ si se quiere la no conmutatividad); todo anillo con unidad es un anillo, pero hay anillos que no son anillos con unidad (estrictamente triangulares superiores $3\times 3$ matrices con coeficientes en $\mathbb{R}$ por ejemplo). Así que $$\text{Fields}\subsetneq \text{Division rings}\subsetneq \text{Rings with unity} \subsetneq \text{Rings}$$ y $$\text{Fields}\subsetneq \text{Commutative rings with unity}\subsetneq \text{Commutative rings}\subsetneq \text{Rings}.$$

Answer 2

Hay toda una gama de estructuras algebraicas. Quizá las 5 más conocidas sean los semigrupos, los monoides, los grupos, los anillos y los campos.

• A semigrupo es un conjunto con una operación binaria cerrada y asociativa.
• A monoide es un semigrupo con un elemento de identidad.
• A grupo es un monoide con elementos inversos.
• Un grupo abeliano es un grupo donde la operación binaria es conmutativa.
• A anillo es un grupo abeliano (bajo adición, digamos) que resulta tener una segunda operación cerrada, asociativa y binaria también. Y estas dos operaciones satisfacen una ley de distribución. (Puede o no requerir que los anillos tengan una identidad con la segunda operación)
• A campo es un anillo en el que ambas operaciones conmutan, en el que cada elemento tiene un inverso aditivo (es decir, la primera operación) y un inverso multiplicativo (es decir, la segunda operación) (y por lo tanto hay una identidad multiplicativa), y el requisito adicional de que si $xy = 0$ para algunos $x \not = 0$ , entonces debemos tener $y = 0$ (a esto le llamamos no tener divisores de cero).

La gente los estudia, y los mapas entre ellos, porque es impresionante la frecuencia con la que se puede dar a las cosas una estructura de grupo o de anillo. Así que saber cómo se comportan estas cosas conlleva mucha información sobre muchas cosas.

Answer 3

Un campo tiene inversos multiplicativos, los anillos no necesitan tener eso, sólo aditivos. Los anillos son el objeto más básico. ${Fields}\subset {Rings}$